Bijektivität von Funktionen - Quiz lösen

Question

Ich abe ein Quiz für die Bijektivität, das ich lösen soll.

1) f: ℕ→ℕ : f(x) = x+1 ist bijektiv?  // Die Aussage ist wahr, die Funktion ist ist injektiv und surjektiv also auch bijektiv.

2) f:ℝ→ℝ : f(x) = 2x + |x| ist bijektiv? Hier weiß ich leider nicht wie ich voran gehen soll.

3) f: ℚ>0 →ℚ>0  : f(x) = x^2 ist bijektiv?// Die Funktion x^2 auf ℝ→ℝ wäre ja nicht bijektiv. Aber wegen Q>0 ist sie glaube ich bijektiv.. Eine bessere begründung fällt mir jetzt nicht ein.

4) f:ℝ→ℝ : f(x) = x^3+3x^2+3x +1 ist biketiv? Hier habe ich einmal die geraden Zahlen und die ungeraden Zahlen getestet: Also f(3) = 64 und f(-3)=-8 und f(2)=27 und f(-2) = -1..also bijektiv ..glaube aber das das nicht so stimmt.

Hoffe ihr könnt mir sagen, ob ich die Aufgaben richtig gelöst habe oder mir ein passende Begründung geben.

Comments

(3) ist sicher nicht surjektiv.
(4) Beachte, dass \(f(x)=(x+1)^3\) ist.

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1) ist ebenfalls nicht surjektiv.

Answer 1

1) f: ℕ→ℕ : f(x) = x+1 ist bijektiv?  // Die aussage ist wahr die funktion ist ist injektiv und surjektiv also auch bijektiv.    f(0) = 1   aber  f(x) = 0 hat keine Lösung mit x aus N, also nicht surjektiv

2) f:ℝ→ℝ : f(x) = 2x + |x| ist bijektiv? Hier weis ich leider nicht wie ich voran gehen soll.

du hast doch  f(x)  =   3x für x ≥0

                                  =   x  für x< 0

            also bijektiv.

3) f: ℚ>0 →ℚ>0  : f(x) = x² ist bijektiv?// Die funktion x² auf ℝ→ℝ wäre ja nicht bijektiv.Aber wegen Q>0 ist sie glaube ich bijektiv. Eine bessere begründung fällt mir jetzt nicht ein.

aber es gibt kein x mit   x^2 = 3 in Q

4) f:ℝ→ℝ : f(x) = x³+3x²+3x +1 ist biketiv? Hier habe ich einmal die geraden zahlen und die ungeraden zahlen getestet : Also f(3) = 64 und f(-3)=-8 und f(2)=27 und f(-2) = -1..also bijektiv ..glaube aber das das nicht so stimmt.

musst allerdings für alle x aus IR überlegen !!!

mit dem Tipp (x+1)^3 kommst du sicher weiter, versuche dir mal den Graphen

vorzustellen ( zur Seite verschobenes x^3 ), also bijektiv

Hoffe ihr könnt mir sagen, ob ich die aufgaben richtig gelöst habe oder mir ein passende begründung für die aufgaben geben.