Norm und Eigenwert: Gleichung ||A|| = √(λmax(A^t A) ) für A ∈ R^{n×m} zeigen.

Question

Zeigen Sie die Gleichung ||A|| =  √(λ_max(A^tA) ) fur A ∈ R^n×m. Dabei ist λ_max(B) = max_λ∈σ(B) |λ| der betragsmäßig größte Eigenwert einer Matrix B ∈ R^n×n.

||B|| - die euklidische Norm der Matrix B

B^{t -} eine transponierte Matrix

σ(B) - die Menge der Eigenwerte der Matrix B

^|Ein bisschen Hilfe wäre super! 

Answer 1

Hi, wie ist Deine Matrixnorm definiert? Falls gilt

$$  \| A \| = \sqrt{ \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m |a_{i,j}|^2 } $$ stimmt die Aussage nicht. Falls die Norm definiert ist als

$$ \| A \| = \max_{\|x\|_2=1}\| Ax \|_2  $$ siehe hier

https://de.wikipedia.org/wiki/Spektralnorm und

https://de.wikipedia.org/wiki/Matrixnorm