Störfunktion einer DGL bestimmen

Question

Ich habe die Aufgabe x'=x/(1+t)+t zu lösen. Nun soll das Verfahren Variation der Konstanten angewandt werden. Dabei muss ich die Störfunktion gleich null setzen.

Ist es dann richtig einfach t=0 zu rechnen, sodass ich im Endeeffekt x'-x=0 erhalte, oder schummel ich so?

Vielen dank :)

Answer 1

Deine Dgl. hat die Form \(  x'(t) = a(t) x(t) +b(t) \) mit \( a(t) = \frac{1}{1+t} \) und \( b(t) = t \)

Bei der Variation der Konstanten gehts es darum, erstmal eine Lösung der homogenen Dgl. zu finden und die dort drin enthaltene Integrationskonstante als Funktion von \( t \) zu betrachten und damit eine Lösung der inhomogenen Dgl zu finden.

Die homogene Dgl. löst Du mittels Trennung der Variablen und danach wendest Du das Verfahren an, das hier beschrieben ist.

https://de.wikipedia.org/wiki/Variation_der_KonstantenIntegrationsk

Comments

Und in diesem Fall ist b(t) die Störfunktion und muss raus oder wie?

Sodass ich auf x'(t)-(x(t)/(1+t))=0 komme und dann das verfahren anwende?

Danke für deine Antwort!

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Hi, der homogene Teil deiner DGL hat die Form x'=a(t)*x, das musst du zuerst lösen. Die Störfunktion b(t) wirst du erst im zweiten Schritt einbringen und dann die DGL komplett lösen. Dieses Verfahren ist mathematisch korrekt und ist kein Schummeln. :P Sobald du die homogene Lösung deiner DGL hast, kannst du die ja hier reinschreiben und dann sagen wir dir nochmal "einfach formuliert" wie du weitermachen musst.

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Ich habe nun als Lösung des Homogenen Teils:

integriere dx/x=dt/(1+t)

ln|x|=ln|t+1|+c       mit c=c1-c2

nun mit der e-fkt und ich erhalte:

|x(t)|=|t+1|+k                         wobei k=e^c   ist.

kann das hinkommen? Dürfen da überhaupt beträge stehen? Wenn ja wie leite ich das dann im nächsten Schritt ab?

Danke das ihr euch die Zeit nehmt! :)

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$$x'= \frac{x}{1+t}$$ $$ \int \frac{dx}{x} = \int \frac{dt}{1+t}$$ $$ ln(x) = ln(1+t)+c_1 \quad | \ exp( \ )$$ $$x = e^{ln(1+t)+c_1} = e^{c_1}e^{ln(1+t)}=c(1+t)$$ Bis hier ist c eine Konstante. Jetzt machen wir daraus aber eine von t abhängige Funktion $$ c \rightarrow c(t)$$ Daraus folgt für die Ableitung von x $$x = c(t)(1+t)$$ $$x' = c(t) + c'(t)(1+t)$$ Einsetzen in die DGL (nicht die homogene, sondern die allgemeine aus deiner Frage): $$ c(t) + c'(t)(1+t) = \frac{c(t)(1+t)}{1+t} + t$$ $$c'(t) = \frac{t}{1+t}$$ Integrieren: $$c(t) = t - ln(1+t) + c_2$$ Und damit erhältst du durch das Einsetzen von c(t) in die Lösung der homogenen DGL $$x(t) = (t - ln(1+t) + c_2)(1+t)$$

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Super vielen dank!
kannst du mir sagen warum man
e^c*e^{ln(t+1)} zu c(t+1) umformen kann?Und wieso braucht man hier keine Beträge  erwenden?
Dann hab ich auch genug gefragt und verstehe alles :D

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Nun e^c1 ist ja nichts anderes als eine Konstante hoch eine Konstante. Also kann ich beides ja auch zu einer Konstanten c zusammenfassen $$e^{c_1}=c \ .$$ Ob ich meine Konstante c oder 2c oder 100c oder c^c nenne ist total egal. Das wird dann dementsprechend aufgelöst wenn ich Randbedingungen habe, die du zu deiner DGL scheinbar nicht gegeben hast.
Und dass e^ln(1+t)=1+t liegt daran, dass exp(ln(x))=x, also exp() die Umkehrfunktion zum ln() ist bzw. umgekehrt natürlich auch.
Die Beträge habe ich weggelassen, weil das irgendwie so üblich bei solchen DGLen ist. Wenn du alle Fallunterscheidungen einbeziehst, wirst du aber zum Ergebnis kommen, dass nach der Integration x=c(1+t) übrig bleibt.