y'' + 2y' + 2y = -2e^(-x) sin(x) DGL 2.Ordnung mit Störfunktion

Question

Aufgabe: y'' +  2y'  + 2y =  -2e^(-x)  sin(x)             y(0) = 1    y'(0) = 0

Problem/Ansatz: Um die partikulare Lösung zu finden braucht man den richtigen Ansatz für die Störfunktion. Da auf der rechten Seite = -2e^(-x) sin(x)  steht setzt sich der Ansatz aus z.B: re^(sx) für den teil mit -2e^(-x)  und für sin(x) aus r₁ sin(wx) + r₂ cos (wx) zusammen. Aber für den richtigen Ansatz benötigt man noch die Lösung der charakterist. Gleichung. Dafür haben wir dann  y'' + 2y' + yy = 0 und y'' =λ² ; y' = λ² umgewandelt, somit ergibt sich λ² + 2λ + .... = 0. Hier weiß ich nicht was ich mit dem yy bzw. y² mache.

Über einen Lösungsansatz würde ich mich sehr freuen

Mit freundlichen Grüßen

Nikolas Michel

Comments

Ich habe gerade von meinem Professor erfahren, dass in der Aufgabe ein Tippfehler ist und es richtig:   y'' +  2y'  + 2y =  -2e^(-x)  sin(x)   lautet.

Answer 1

Hallo,

charakt. Gleichung: k^2 +2k +2=0

k_1,2= -1 ± i

->

y_h=C₁ e^(-x)cos(x) +C₂ e^(-x) sin(x)

y_p=x(A e^(-x)cos(x) +B e^(-x) sin(x)) ->Resonanz

y_p 2 Mal ableiten , y_p. y_p' ind _yp'' in die DGL einsetzen

->Koeffizientenvergleich

y_p=e^(-x) x cos(x)

y=y_h+y_p

->AWB in die Lösung einsetzen