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Die Radialgleichung des Kepler-Problems
$$ m \ddot{r}=\frac{L^{2}}{m r^{3}}-\frac{G m M}{r^{2}} $$
entspricht effektiv der Bewegungsgleichung eines eindimensionalen "Teilchens" mit der einzigen Koordinate \( r, \) wobei die rechte Seite der Gleichung als eine effektive Kraft
$$ F_{\mathrm{eff}}(r)=\frac{L^{2}}{m r^{3}}-\frac{G m M}{r^{2}} $$
interpretiert wird.
(a) Zeigen Sie, dass die zur effektiven Kraft \( F_{\text {eff }}(r) \) gehörende potentielle Energie \( V_{\text {eff }}(r) \) durch die Gleichung
$$ V_{\mathrm{eff}}(r)=\frac{L^{2}}{2 m r^{2}}-\frac{G m M}{r} $$
gegeben ist. Fertigen Sie eine Skizze von \( V_{\text {eff }}(r) \) an und berechnen Sie die minimale potentielle Energie \( V_{\min }=\min _{0<r<\infty} V_{\mathrm{eff}}(r) \)
(b) Die Lösungen der Gleichung \( V_{\text {eff }}(r)=E \) sind die "Umkehrpunkte" des effektiven eindimensionalen Problems. Für Energien \( V_{\min }<E<0 \) gibt es zwei solcher Umkehrpunkte, \( r_{-} \) und \( r_{+} \) Berechnen Sie diese Umkehrpunkte.
Wie mache ich Aufgabe b)? Aufgabe a) ist kein Problem, die ist einfach.
Wir hatten versucht, die Umkehrpunkte mittels gleichsetzen der Energie und der potenziellen Energie zu berechnen, aber wir kommen auf kein Ergebnis und sind mittlerweile etwas hilflos.
