Induktion mit 2 Variablen: Für n ∈ N+ und xi >=0 reell mit ∏n i=1 xi=1 gilt ∑n i=1 xi≥n

Question

wir müssen bis morgen folgende Aufgabe lösen:

zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für alle natürlichen Zahlen n ∈ N+ und alle
reellen Zahlen x1; x2;... ; xn ≥ 0 mit ∏^n _i=1 x_i=1 die Ungleichung ∑^n _i=1 x_i≥n gilt.

Hinweis: Zeigen Sie im Induktionsschritt zunächst, dass für beliebige reelle Zahlen x; y mit
x≤1 ≤ y stets xy ≤ x + y - 1 gilt. Wenden Sie diese Ungleichung dann in geeigneter Weise
an.

Ich hab leider keinen Plan wie ich das untere zeigen soll, denn ich weiß nicht wie ich eine Induktion mit 2 Variablen durchführen soll.

Vielen dank schon mal für die Hilfe

Comments

Die Induktion ist hier nicht über 2 Variablen zu führen wie das in der Fragestellung angedeutet wird, sondern ganz einfach über n.

Hast du dir mal überlegt wie man den Hinweis auf die Aufgabe anwenden könnte?

Überlege dir auch, dass wenn ein Produkt=1 ist, mindestens einer der Faktoren >1 ist, sonst sind bereits alle Faktoren =1.

Answer 1

Ich fange mal mit dem Hinweis an

x ≤1 ≤ y ==> xy ≤ x + y - 1

Ich zeige mal das der Hinweis für x = 1 gilt

1y ≤ 1 + y - 1
y ≤ y

Das scheint also erfüllt zu sein. Nun zeige ich es für ein x = 1/n mit x < 1 und damit n > 1

1/n·y ≤ 1/n + y - 1
y ≤ y·n + 1 - n
y - y·n ≤ 1 - n
y·(1 - n) ≤ 1 - n
y ≥ 1

Jetzt kannst Du den Hinweis als gezeigt annehmen und damit zeigen das wenn die Annahme für n gilt sie auch für n+1 gilt.

Comments

Ist das n aus deinem Beweis eine natürliche Zahl?

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Nein. Nur einfach eine Zahl > 1. Das kann aber auch 1.000001 sein. Zugegeben hätte ich vielleicht besser ein c oder k als Variable nehmen sollen, damit keine falschen Schlüsse aufkommen.

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erstmal entschuldigung dass es immer dich trifft wenn ich was zu kritisieren habe, aber ich finde ein paar Dinge hier sehr ungeschickt.

1. Die Antwort die du gegeben hast beantwortet das eigentliche Problem nur sehr unzureichend, durch die Tatsache dass du das aber als Antwort und nicht als Kommentar gepostet hast lässt die Frage nicht mehr bei den offenen Fragen auftauchen, was sie aber doch noch ist.

2. Dass bei Schülerlösungen keine Folge und Äquivalenzpfeile gemacht werden, damit muss ich wohl leben. Bei den Aufgaben aus der Uni halte ich das aber für grob fahrlässig, da es hier tatsächlich oft darauf ankommt ob man ein "genau dann wenn" oder nur ein "dann" hat.

Also bei mir im Studium haben gute Tutoren massenhaft Punkte abgezogen wenn jemand einfach Gleichungen untereinander geschrieben hat ohne einen Hinweis wie diese Zusammenhängen.

3. Und wie vielleicht oben schon zu erkennen war, gehört meiner Meinung nach zu jedem Buchstaben den man verwendet auch eine Angabe wo er denn her kommt.

Vor allem wenn man in nur wenigen zweimal "n" benutzt und diese n's aus ganz verschiedenen Mengen kommen.

 

Ich bin auch weit davon entfernt alles perfekt zu machen, aber die Grundvoraussetzung um Mathe vernünftig zu praktizieren und zu verstehen ist nun mal eine saubere Ausdrucksweise.

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Was das n betrifft hatte ich ja dazu geschrieben wie es zustande kommt

x = 1/n mit x < 1 und damit n > 1

Aber zugegeben war es etwas ungeschickt. Ich hätte hier lieber eine andere Variable wählen sollen.