Basiswechselmatrix angeben

Question

Aufgabe:

Triagonalisieren Sie die folgenden reellen Matrizen:

$$ A = \left( \begin{array} { c c c } { - 6 } & { 5 } & { 7 } \\ { - 3 } & { 4 } & { 3 } \\ { - 7 } & { 5 } & { 8 } \end{array} \right) , \quad B = \left( \begin{array} { c c c } { 6 } & { 5 } & { 5 } \\ { 3 } & { 4 } & { 3 } \\ { - 5 } & { - 5 } & { - 4 } \end{array} \right) $$

Zeigen Sie zuerst, dass es möglich ist und geben Sie die Matrix eines Basiswechsels an.

Erst mal eine Frage zur Aufgabenstellung. Indem man eine Basiswechelmatrix angibt, zeigt man so, dass die Matrizen trigonalisierbar sind oder muss man das extra machen? Und wie kann ich hier eine Basiswechselmatrix angeben? Ich habe leider überhaupt keine Ahnung.

Und dann noch eine Frage zur Trigonalisierung. Ich habe die Eigenwerte und Eigenvektoren bestimmt, wie gehe ich jetzt weiter vor?

Answer 1

Erst mal eine Frage zur Aufgabenstellung. Indem man eine Basiswechelmatrix angibt, zeigt man so, dass die Matrizen trigonalisierbar sind oder muss man das extra machen?

Grundsätzlich gilt natürlich, wenn du einen Basiswechsel gefunden hast so dass Triagonalgestalt vorliegt hast du auch gezeigt, dass die Matrix triagonalisierbar ist.

Allerdings steht in der Aufgabenstellung: "Zeigen Sie zuerst, dass es möglich ist..." ich denke das ist eindeutig. Und sicherlich ist es auch sinnvoll ersteinmal zu überprüfen ob sich der Aufwand des rumrechnenes denn lohnt, bevor man loslegt.

Und wie kann ich hier eine Basiswechselmatrix angeben? Ich habe leider überhaupt keine Ahnung.

Das ist sehr aufwendig!

Schau mal hier, ab Seite 3 ist auch ein Beispiel.

http://www.math.tugraz.at/~ganster/lv_lineare_algebra/24_trigonalisierung.pdf

Wenn du Fragen hast, stell sie gerne.

Comments

Erst mal danke. Auf der Seite hatte ich auch schon geguckt, aber ich verstehe nicht ganz, was die dort machen. Da steht ''Wir starten mit der kanonischen Basis...''. Was wird denn mit der Basis gemacht?

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Da wird einfach aus der Abbildung F die Matrix gemacht, das kannst du ja bei deiner Aufgaben überspringen, da deine Abbildungen ja schon als Matrizen gegeben sind.

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Achso, ok.

Von beiden Matrizen sind die Eigenwerte 1,1, und 4. Also sind die Linearfaktoren -(t-1)(t-1)(t-4), das ergibt das char. Polynom -t³+6t²-9t+4, also sind die Matrizen trigonalisierbar. Kann ich das so folgern?

 

Bei dem Beispiel haben die ja einen EV ausgerechnet und hatten dann eine neue Basis. Wurde der EV bei der Standardbasis an die erste Stelle gesetzt oder wie bekommen die die neue Basis?

Von meiner Matrix A ist der EV zu 1 (1,0,1)^T und zu 4 (5,3,5)^T. Wie bekomme ich denn daraus jetzt eine Basis für die Darstellung des Basiswechsels?

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Kann ich das so folgern?

Ja

oder wie bekommen die die neue Basis?

Du kannst den ausgerechneten EV beliebig zu einer Basis ergänzen, da bieten sich halt die Einheitsvektoren an.

du nimmst jetzt

(1,0,1)^T und ergänzt das zum Beispiel mit (0,1,0)^T und (0,0,1)^T zu einer Basis.

Damit bekommst du dann schon die eine Basiswechselmatrix. Invertiere die und du kommst schon auf die Form mir Nullen in der ersten Spalte außer links oben.

Und dann das ganze nochmal mit der kleineren 2x2-Matrix.

 

 

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Habe grade gemerkt, dass ich die Basis schon zufällig so gewählt habe, dass alles passt.

Aber allgemein musst du nochmal mit der kleineren 2x2 matrix weiterrechnen.

Du hast dann für S A S^-1

1 5 7

0 4 3

0 0 1

für S^-1

1 0 0

0 1 0

1 0 1

für S

 1 0 0

 0 1 0

-1 0 1

 

 

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Kurze Nachfrage: Ich muss dann mit der gegeben Matrix multiplizieren, nicht mit der, wo ich die EW eingesetz habe oder?

Wenn ich als Basis S=((1,0,1)^T,(0,1,0)^T,(0,0,1)^T) nehme, dann ist S^-1=((1,0,0)^T,(0,1,0)^T,(-1,0,1)^T).

Wenn ich dann SAS^-1 multipliziere bekomme ich aber keine Nullen in der ersten Zeile/Spalte.

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Ich sehe gerade, dass ich S und S^-1 vertauscht habe...

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Ich habs jetzt auch raus. Also ist

1 5 7

0 4 3

0 0 1

meine Basiswechselmatrix, die ich laut Aufgabe angeben soll? Oder muss da jetzt noch irgendwas gemacht werden?

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Nein, S ist die Basiswechselmatrix.Die wechselt die Basis aus, so dass deine Matrix eine "schönere" Gestalt bekommt.

also aus A wird nach Basiswechsel SAS^-1

 

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du schreibst S^-1=((1,0,0)^T,(0,1,0)^T,(-1,0,1)^T), das ist aber nicht invers zu deinem S,

es muss S^-1=((1,0,-1)^T,(0,1,0)^T,(0,0,1)^T) sein, siehe auch oben...

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Das verstehe ich jetzt leider nicht so ganz. Also S ist die Basiswechselmatrix, nach der in meiner Aufgabe gefragt wird?

Die ist jetzt zu EW 1, für EW 4 muss man das nicht machen oder?

Was ist SAS^-1 jetzt?

Und warum gibt es zwei verschiedene S^-1?

Bin gerade total verwirrt.

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SAS^-1 ist die selbe Abbildung wie A, nur bezüglich einer anderen Basis.

Und diese andere Basis erhält man eben mit S und S^-1

 

Und warum gibt es zwei verschiedene S^-1?

Gibt es nicht, zu jedem invertierbaren S gibt es genau eines.

 

Das klingt jetzt gemein, aber manchmal hilft auch ein Blick ins Skript/Buch, das Prinzip des Basiswechsels sollte schon eine Weile vor der Triagonalisierung gemacht worden sein...

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Mit den S^-1 ist jetzt klar. Mir ist nicht aufgefallen, dass ich das oben falsch hatte und ich hab dein Kommentar falsch verstanden.

Ich muss jetzt noch mal nachfragen... S ist die Matrix eines Basiswechsels, die ich laut Aufgabe angeben soll und SAS^-1 ist meine Triagonalmatrix?

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Genau so ist es

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Ok, dank dir habe ich jetzt alles verstanden. Vielen vielen Dank für eine Geduld.