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Je nach Anwendung werden häufig unterschiedliche Polynombasen des \( \mathbb{P}_{N} \) verwendet. Beispielsweise sind in der Physik die so genannten Legendre-Polynome oft praktischer zu verwenden als die Monome.
a) Geben Sie die Monome \( 1, x, \ldots, x^{N} \) in Vektorform an.
b) Bestimmen Sie die Basiswechselmatrizen \( S, S^{-1} \in \mathbb{R}^{4 \times 4} \) des \( \mathbb{K}_{4} \) von der Monombasis zu den unten angebenen ersten vier Legendre-Polynomen.
\( P_{0}(x)=1, P_{1}(x)=x, P_{2}(x)=\frac{1}{2}\left(3 x^{2}-1\right), P_{3}(x)=\frac{1}{2}\left(5 x^{3}-3 x\right) . \)
Hinweis: Schreiben Sie zunächst die Legendre-Polynome als Vektoren in der Monombasis.
Aufgabe:
