Lineare Abbildung, Vektorraum

Question

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Sei \( V \) ein \( \mathbb{K} \)-Vektorraum und \( L: V \rightarrow V \) linear. Wie bei Matrizen nennt man eine lineare Abbildung \( L: V \rightarrow \) \( V \) mit der Eigenschaft \( L \circ L=L \) eine Projektion.
a) Bestimmen Sie alle möglichen Eigenwerte einer Projektion \( L \).
b) Geben Sie eine Projektion \( L: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) an, die alle nach (a) möglichen Eigenwerte besitzt.
c) Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:
(i) \( L \) ist eine Projektion.
(ii) \( \operatorname{Bild}\left(\mathrm{id}_{V}-L\right)=\operatorname{Kern} L \)

Aufgabe:

Problem/Ansatz: Ich verstehe nich wo und wie machen soll

Answer 1

a)   k Eigenwert von L ==>  Es gibt v∈V\{0} mit L(v) = k*v

==>  (LoL)(v) = L(L(v)) = L(k*v) = k*L(v) = k*k*v = k^2 * v

==>   k^2=1 , also k=1 oder k=-1

z.B. die lin. Abb. mit der Matrix

1  0
0  -1

hat beide.

(i) ==>   LoL=L

Sei nun x ∈ \( \operatorname{Bild}\left(\mathrm{id}_{V}-L\right) \)

==>  Es gibt y∈V mit \(\left(\mathrm{id}_{V}-L\right)(y) = x \)

==>             y - L(y) = x

==>            L(  y - L(y)) = L(x)

==>            L(y) - L(L(y)) = L(x)

==>             L(y) - L(y) = L(x)

==>                   0 = L(x)

==>    x∈  \( \operatorname{Kern} L \)

umgekehrt: Sei   x∈  \( \operatorname{Kern} L \) , also L(x)=0

==>     \(\left(\mathrm{id}_{V}-L\right)(x) = x - L(x) = x- 0 = x \)

Also gibt es ein y (nämlich y=x )  mit   \(\left(\mathrm{id}_{V}-L\right)(y) = x \)

==>     x ∈ \( \operatorname{Bild}\left(\mathrm{id}_{V}-L\right) \)