Konvergenz von unendlichen Reihen

Question

Wir sollen die folgenden Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz untersuchen:

(i) \( \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{k}{3^{k}} \)
(ii) \( \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{k^{2}}{k !} \)
(iii) \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{k^{k}}{(2 k-1)^{k}} \)
(iv) \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{k !}{k^{k}} \)
(v) \( \sum \limits_{k=1}^{\infty}(-1)^{k} \frac{1}{\sqrt{k}} \)

Kann mir jemand zeigen wie das geht? Ich komme vor allem mit Konvergenz / absoluter Konvergenz durcheinander. Absolute Konvergenz kann man ja mit Wurzelkriterium usw. zeigen, aber ist dann auch die "normale Konvergenz" bewiesen; und wenn nicht, wie zeigt man die dann?

Wenn möglich kann jemand anhand dieser Aufgaben vorrechnen, damit ich weiss wie ich das machen muss?

Answer 1

Quotientenkriterium

(i) a(n+1) / a(n) = (k + 1)/(3·k) = 1/3 + 1/(3·k) < 1 für alle k >= 1 

(ii) a(n+1) / a(n) = (k + 1)/k^2 < 1 für alle k >= 2

Wurzelkriterium

(iii) (an)^{1/k} = k / (2·k - 1) < 1 für k >= 2

Comments

(iv) a(n+1) / an = k^k/(k + 1)^k < 1 für alle k

(v) Konvergiert nach dem leibnitz-kriterium. 1/√k >= 1/k und damit ist die harmonische reihe eine divergente minorante.

Links:

https://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzkriterium

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Danke dir, ich hab das jetzt sogar verstanden wie das funktioniert :))

Kannst du mir vielleicht noch die Aufgabe v besser erklären? Konvergiert das jetzt nach Leibnitz-Kriterium oder divergiert das weil 1/√k >= 1/k ist?

Falls ich dich nicht überbeanspruche ich habe noch eine Aufgabe mit dem Cauchy-Kriterium mit dem ich nicht klar komme...:

https://www.mathelounge.de/239018/kontraktive-beschrankte-folge

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(v) Es konvergiert lach dem Leibnitz-Kriterium. Es konvergiert aber nicht absolut, weil die Absolute Reihe divergiert.