Reihen auf Konvergenz untersuchen

Question

Aufgabe:

\( \lim\limits_{n\to\infty} \) (a_n /b_n ) = q größer 0

Die Reihe a_n konvergiert genau dann wenn die Reihe b_n konvergiert.

Untersuchen Sie mithilfe dessen folgende Reihen auf Konvergenz:

1) Reihe (n+3)/(n^2-n+2)

2) Reihe (2023)/(n^2-4n+42)

Problem/Ansatz:

Ich habe hier zuerst versucht, den Limes von den beiden Reihen zu bestimmen (also als Folge a_n/b_n betrachtet), bin aber bei beiden Grenzwerten auf 0 gekommen. Ebenfalls konvergiert ja nur die Folge (2023), also kann ich mit dem anderen Hinweis auch nichts anfangen. Gehe ich das irgendwie falsch an?

Comments

Verstehe ich nicht:

Reihe a_n konvergiert genau dann wenn die Reihe b_n konvergiert?

Answer 1

Oberste Regel erstmal: Nichts tun, was in der Aufgabe nicht verlangt ist, also z.B. Grenzwerte von Reihen auszurechnen. Es geht hier nur um Konvergenz oder Divergenz.

Du hast die Aufgabe verkürzt präsentiert, das sorgt für Verwirrung (siehe Kommentar oben).

Ich verstehe es jetzt mal so: WENN \(\lim \frac{a_n}{b_n} = q>0\), DANN gilt:

\(\sum a_n\) konv. \(\iff \sum b_n\) konv.

Und das soll so hingenommen werden und "nur" angewandt werden auf die beiden Beispiele.

Für das erste tut's: \(a_n:=\frac{n+3}{n^2-n+2}, \; b_n:=\frac1n\), für das zweite \(b_n:=\frac1{n^2}\).