Sei \( \limsup\limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|} = s >1 \).
Es gilt \( \limsup\limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|} = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \left( \sup\limits_{k>n}\{ \sqrt[k]{\left|a_{k}\right|} \} \right) \).
Sei nun \( ε:= s-1 \gt 0 \) . Also gibt es (Grenzwertdefinition) ein N∈ℕ
mit n>N ==> \( | \sup\limits_{k>n} \{ \sqrt[k]{\left|a_{k}\right|} \} - s | \lt s-1 \)
==> \( 1-s \lt \sup\limits_{k>n} \{ \sqrt[k]{\left|a_{k}\right|} \} - s \lt s-1\)
==> \( 1 \lt \sup\limits_{k>n} \{ \sqrt[k]{\left|a_{k}\right|} \} \lt 2s-1 \)
Insbesondere also \( 1 \lt \sup\limits_{k>n} \{ \sqrt[k]{\left|a_{k}\right|} \} \)
Wenn das sup einer Menge größer als 1 ist, enthält die Menge
jedenfalls ein Element größer oder gleich 1. Also gibt es für n>N
immer ein k>n gibt mit \( \sqrt[k] {\left| a_{k} \right| } \ge 1 \).
==> \( \left| a_{k} \right| \ge 1 \).
Also kann die Folge der \( \left| a_{k} \right| \)
keine 0-Folge sein und somit die Reihe nicht konvergieren. q.e.d.
