Länge eines rektifizierbaren Weges bestimmen

Question

:)

Ich habe bei folgender Aufgabe ein Problem. Und zwar weiß ich nicht so recht wie ich das machen soll. Wir haben einen unendlichen Weg γ : [0,∞) → ℝ² , γ(t) = t·(cos(t), sin(t)) gegeben. Nun soll ich die Länge $$L\left( \gamma { | }_{ [a,b] } \right)$$ des Teilweges $$\gamma { | }_{ [a,b] }$$ berechnen, wobei a,b∈ℝ mit 0<a<b<∞.

Nun habe ich es versucht über die Weglängenfunktion $$L(\gamma { | }_{ [a,b] })=\int _{ a }^{ b }{ { \left\| { \gamma }'(t) \right\| }_{ 2 } } dt$$ zu lösen:

$$\gamma (t)=(t\cdot cos(t), t\cdot (sin(t))\Rightarrow \gamma '(t)=(cos(t)-t\cdot sin(t),sin(t)+t\cdot cos(t))$$

$$\Rightarrow { \left\| { \gamma }'(t) \right\| }_{ 2 }=\sqrt { { (cos(t)-t\cdot sin(t)) }^{ 2 }+{ (sin(t)+t\cdot cos(t)) }^{ 2 } } =\sqrt { { t }^{ 2 }+1 }$$ $$\Rightarrow L(\gamma { | }_{ [a,b] })=\int _{ a }^{ b }{ \sqrt { { t }^{ 2 }+1 } } dt$$

Nun habe ich versucht hiervon das Integral zu lösen. Da die Stammfunktion aber nicht gerade "schön" aussieht, frage ich mich, ob es der richtige Weg ist, so an diese Aufgabe heran zu gehen. Ich würde mich über eine Hilfe sehr freuen.

Vielen Dank :)

Gruß

Answer 1

Das Integral sieht ja wirklich nicht sehr schön aus,
ist aber richtig.

Comments

Okay Danke :D

Oder gibt es eventuell noch einen leichteren Weg, die Länge zu bestimmen?