Urne mit 5 Kugeln. Zufallsvariable Wahrscheinlichkeiten

Question

Aus einer Urne mit fünf Kugeln, die mit 0,1,2,3 und 4 nummeriert sind, wird zweimal mit zurücklegen gezogen.

a) Die Zufallsvariable X beschreibt die Summe der Zahlen auf den zwei gezogenen Kugeln. Bestimmen sie zunächst die Verteilung von X und bestimmen dann die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass die Summe der Zahlen

(i)  kleiner als 2

(ii) mindestens 4 ist.

b) Berechnen sie Erwartungswert und Varianz der Zufallsvariablen X.

c) Ein spielsüchtiger Bekannter ist auf der Suche nach weiteren Einnahmequellen und schlägt Ihnen folgendes Glücksspiel vor:

Sie zahlen 2,50 Euro Einsatz und ziehen zweimal wie oben beschrieben aus der Urne. Anschließend wird die Summe der gezogenen Zahlen bestimmt und er zahlt Ihnen die Hälfte dieser Summe in Euro als Gewinn aus. Berechnen sie den Erwartungswert und die Varianz Ihres Nettogewinns ( Gewinn abzüglich Einsatz) für ein Einzelspiel.Für wen lohnt sich das Spiel langfristig mehr?

Answer 1

a) Die Zufallsvariable X beschreibt die Summe der Zahlen auf den zwei gezogenen Kugeln. Bestimmen sie zunächst die Verteilung von X und bestimmen dann die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass die Summe der Zahlen 

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung würde denke ich wie folgt aussehen. Du solltest versuchen die Tabelle nach zu vollziehen. Am Besten schreibst du dir mal alle 25 Möglichkeiten auf, die auftreten können. Beantworte dann die zugehörigen Fragen. Dazu brauchst du ja nur aus der Tabelle summieren.

Xi	0	1	2	3	4	5	6	7	8
H(Xi)	1	2	3	4	5	4	3	2	1
P(Xi)	1/25	2/25	3/25	4/25	5/25	4/25	3/25	2/25	1/25

Comments

also ist kleiner als 2 die Wahrscheinlichkeit 3/25 und mindestens 4 die Wahrscheinlichkeit 15/25?

und leider komme ich mit Aufgabe c nicht zurecht?

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Sie zahlen 2,50 Euro Einsatz und ziehen zweimal wie oben beschrieben aus der Urne. Anschließend wird die Summe der gezogenen Zahlen bestimmt und er zahlt Ihnen die Hälfte dieser Summe in Euro als Gewinn aus. Berechnen sie den Erwartungswert und die Varianz Ihres Nettogewinns ( Gewinn abzüglich Einsatz) für ein Einzelspiel.Für wen lohnt sich das Spiel langfristig mehr?

Erwartungswert des Gewinns

E(X) = 1/25·(0 - 2.5) + 2/25·(0.5 - 2.5) + 3/25·(1 - 2.5) + 4/25·(1.5 - 2.5) + 5/25·(2 - 2.5) + 4/25·(2.5 - 2.5) + 3/25·(3 - 2.5) + 2/25·(3.5 - 2.5) + 1/25·(4 - 2.5) = -0.5

V(X) = 1/25·(0 - 2.5)^2 + 2/25·(0.5 - 2.5)^2 + 3/25·(1 - 2.5)^2 + 4/25·(1.5 - 2.5)^2 + 5/25·(2 - 2.5)^2 + 4/25·(2.5 - 2.5)^2 + 3/25·(3 - 2.5)^2 + 2/25·(3.5 - 2.5)^2 + 1/25·(4 - 2.5)^2 - (-0.5)^2 = 1

Das Spiel lohnt sich für den Bekannten mehr. Er würde von mir pro Spiel im Mittel 50 Cent gewinnen.

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ok.wie erkenne ich denn anhand der Tabelle den erwartungswert der zufallsvariablen für aufgabenfeil a)

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In Aufgabenteil a) ist doch gar nicht nach einem Erwartungswert gefragt. Was meinst du genau?