Aus der Vorlesung ist bekannt, dass die Umkehrung des Satzes 1.51 nicht gilt.
Konstruieren sie ein Beispiel an dem sie verdeutlichen, dass in der Regel aus der Unkorreliertheit zweier diskreter Zufallsvariablen X und Y nicht folgt, dass dieses Zufallsvariablen dann auch unabhängig verteilt sind.
Vorlesung:
Satz 1.51 Es seien X und Y unabhängig verteilte, diskrete Zufallsvariablen mit endlichen Varianzen. Dann gilt
Cov(X, Y ) = 0,
d.h. X und Y sind unkorreliert. Beweis: Da X und Y unabhängig verteilt sind, folgt sofort aus Satz 1.44 und Satz 1.47
Cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ) = E(X)E(Y ) − E(X)E(Y ) = 0. Für den Erwartungswert haben wir bereits eine Rechenregel für die Summe von zwei Zufallsvariablen.
Für die Varianz gilt Folgendes:
Satz 1.52 Es seien X und Y diskrete Zufallsvariablen mit E(X2) < ∞ und E(Y 2) < ∞. Dann gilt: V (X + Y ) = V (X) + V (Y ) + 2Cov(X, Y )
SindX undY unkorreliert,istV(X+Y)=V(X)+V(Y).
1 Diskrete Zufallsvariablen 18 Beweis:
E(X +Y −E(X +Y))2
V (X + Y ) = = E((X −E(X))+(Y −E(Y)))2
= E(X −E(X))2 +2(X −E(X))(Y −E(Y))+(Y −E(Y))2
= E(X −E(X))2+2E((X −E(X))(Y −E(Y)))+E(Y −E(Y))2
= V(X)+2Cov(X,Y)+V(Y)
Sind X und Y unkorreliert, ist nach Satz 1.51 Cov(X, Y ) = 0, und es folgt sofort V (X + Y ) = V(X)+V(Y).
