$$\text{Sei } (Ω, A,P) \text{ ein Wahrscheinlichkeitsraum. Es sei } Y ∼ N_(0,1) \text{ standardnormalverteilt und} V_p ∼ Bin_{ (1,p)} $$
$$\text{ eine von Y unabhängige, bernoulliverteilte Zufallsvariable mit } p ∈ (0, 1).\text{ Definiere } Z_p := (−1)^Vp*Y $$
$$\text{(a) Zeigen Sie: } Z_p ∼ N_{(0,1)} \text{ für alle } p ∈ (0, 1). $$
$$\text{ Hinweis: Berechnen Sie die Verteilungsfunktion von } Z_p\text{ , mit } P(A) = P(A ∩ {Vp = 0}) + P(A ∩ {Vp = 1}) $$
$$\text{ (b) Zeigen Sie: Für alle } p ∈ (0, 1) \text{ sind Y, } Z_p \text{ nicht unabhängig.}$$
$$\text{ Hinweis: Betrachten Sie die Ereignisse } {Y < −1, Z_p < −1}\text{ und } {Y < −1, Z_p > 1}.$$
$$\text{ (c) Finden Sie } p ∈ (0, 1)\text{ , so dass} Y, Z_p \text{ unkorreliert sind, d.h. } Cov(Y, Z_p) = 0.$$
Wäre für ein paar Tipps und Hilfestellungen sehr dankbar
