Zeilenumformungen einer Matrix konstruieren

Question

Aufgabe:

Gegeben seien die folgenden beiden elementaren Zeilenumformungen einer Matrix \( A \) :

I) Multiplizieren einer Zeile \( a_{i} \) mit \( \lambda \in \mathbb{K}, \lambda \neq 0 \).

II) Addieren einer Zeile \( a_{i} \) zu einer Zeile \( a_{j} \).

Zeigen Sie, dass sich die folgenden Zeilenumformungen aus I und II konstruieren lassen:

a) Addieren des \( \lambda \) - fachen einer Zeile \( a_{i} \) zu einer anderen Zeile \( a_{j} \) mit \( \lambda \in \mathbb{K}, \lambda \neq 0 \).

b) Vertauschen der Zeilen \( a_{i} \) und \( a_{j} \).

Answer 1

a) Erst mal I machen, dann hast du in der i-ten Zeile das lambda-fache von vorher.

Dann die neue i-te Zeile zur j-ten Zeile addieren.

Fertig.

b) Erst mal die i-te Zeile zur j-ten Zeile addieren.   dann hast du bei j die Summe der Werte von der i-ten und der j-ten ich nenn das mal i+j

dann die neue j-te Zeile zur i-ten, dann hast du dort 2i+j

dann die i-te Zeile mal -1 dann hast du dort -2i-j

dann die i-te zur j-ten addieren, dann hast du dort -i

dann die j-te ( in der ist ja - i ) mit -2 multiplizieren, dann hast du dort 2i

das zur i-ten ( in der ist ja -2i - j ) addieren, dann hast du dort - j

Jetzt noch mit den passenden Faktoren multiplizieren, fertig.

(Vielleicht geht es auch einfacher?)