Matrix mit angegebenem Kern konstruieren.

Question

Aufgabe:

Konstruieren Sie eine Matrix A ∈ Q^4×4 mit Minimalpolynom m = (X − 2)²(X − 3) und E₂ = ⟨\( \begin{pmatrix} 1\\1\\1\\1 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 0\\1\\-1\\0 \end{pmatrix} \)⟩.

Problem/Ansatz:

Ich wollte jetzt anfangen, dass ich mir eine Matrix überlege, die den Kern ⟨\( \begin{pmatrix} 1\\1\\1\\1 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 0\\1\\-1\\0 \end{pmatrix} \)⟩ hat, aber ich finde keine. Wie ist das möglich? Ich schaffe nie, dass ich beide Vektoren bekomme, aber keinen dritten dazu. Könnte mir da jemand bitte helfen?

Answer 1

(Antwort war verkehrt! ich hatte Bild und Kern verwechselt)

Comments

Danke für die Antwort! Ich verstehe sie leider nicht ganz.

Wenn ich zum Beispiel sage, s3=0*s1+1*s2 und s4=1*s1+0*s2, dann bekomme ich aber als Kern ⟨\( \begin{pmatrix} 0\\1\\-1\\0 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 1\\0\\0\\-1 \end{pmatrix} \)⟩, aber das ist ja ein anderer Kern. Könntest Du mir bitte noch einmal erklären, wie du Deine Antwort gemeint hast?

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Ich verstehe sie leider nicht ganz.

Ja - tut mir leid. Ich hatte Kern & Bild verwechselt.

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In der Aufgabe ist gar nicht von einem Kern die Rede. Was ist denn mit E₂?

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In der Aufgabe geht es um die Jordan-Normalform, und E₂ soll wahrscheinlich der Eigenraum zum Eigenwert 2 sein. Darum habe ich gedacht, weil man ja die Basis für den Raum mit dem Kern ausrechnet, dass ich versuche, eine Matrix zu konstrieren, die diese beiden Vektoren als Kern hat, und dann zu den Diagonaleinträgen 2 zu addieren. Gibt es eine bessere Vorgangsweise?

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Hier hat die JNF die Gestalt

\( \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 \\0&2 &0 &0 \\ 0&0&3&0\\0&0&0&3\end{pmatrix} \), der Eigenraum zum Eigenwert 2 hat also die Dimension 1.

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Achso ich hatte gedacht, ich muss eine Matrix angeben, deren JNF so aussieht. Danke!

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Aber was bedeutet dann E_2?

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Das ist der Eigenraum zum Eigenwert 2.

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Wie man an der JNF sieht, ist der Eigenraum zum Eigenwert 2 eindimensional.

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Es gibt wohl Unklarheit, wie Minimalpolynom, JNF und Dimension von Eigenräumen zusammenhängen. Ein einfaches Beispiel, wo man alles sieht:
A = \( \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \)

Die Eigenwerte sind 0,0, der Eigenraum ist eindimensional, das Minimalpolynom ist x².

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Ich verstehe die Aufgabe so, dass ein 2dim Eigenraum für den EW 2 vorgeschrieben ist?

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Ich hätte es auch so verstanden, dass der Raum zweidimensional sein muss

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Das paßt eben nicht zum gegebenen Minimalpolynom.

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Könnte es nicht sein, dass das charakteristische Polynom (x-2)³(x-3) ist und der Raum vom Eigenwert 3 nur eindimensional? Dann könnte doch die JNF so aussehen:

\( \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3\end{pmatrix} \)

Könnte das stimmen?

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Du hast Recht. Im Minimalpolynom kommt x-3 nur einmal vor, also gibt es nur einen entsprechenden Jordanblock.

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Wir brauchen also eine Matrix der Form A-2E mit vorgebenem Nullraum. Der Nullraum einer Matrix ist das orthogonale Komplement der Zeilenvektoren. Bestimme also zunächst 2 Vektoren, die orthogonal zu

\( \begin{pmatrix} 1\\1\\1\\1 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 0\\1\\-1\\0 \end{pmatrix} \) sind.

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Sind die Vektoren \( \begin{pmatrix} 1\\-1\\0\\0 \end{pmatrix} \) und \( \begin{pmatrix} 1\\0\\0\\0 \end{pmatrix} \) orthogonal?

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Das Skalarprodukt ist gleich 1, also sind sie nicht orthogonal, aber sie sind orthonal zu \( \begin{pmatrix} 1\\1\\1\\1 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 0\\1\\-1\\0 \end{pmatrix} \).

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Achso ja, das habe ich gemeint. Also kann ich die nehmen, oder? Und was mache ich dann mit diesen Vektoren?

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Eine lineare Abbildung ist durch die Bilder der Basisvektoren bestimmt. Wir wählen für v₁, v₂   die Vektoren aus E₂ und ergänzen sie zu einer Basis B = {v₁,...,v₄}. Wir betrachten die Abbildung f:V→V mit f(v₁) = 2v₁, f(v₂) = 2v₂, f(v₃) = v₁ + v₂ (willkürlich, aber in E_{2)  ,} f(v₄)= 3v₄. Die Darstellunsmatrix bzgl. B leistet dann das Verlangte.

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Wäre die Abbildungsmatrix dann \( \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \)?

Aber hat die nicht einen anderen Kern? Tut mir leid, dass ich es nicht verstehe :/

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Es geht doch nicht um den Kern, sondern um den Eigenraum.

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Aber die Matrix hat ja auch andere Eigenwerte, als die, die ich brauche

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Ich war zu voreilig. Wir orientieren uns an der JNF \( \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3\end{pmatrix} \). Hier sind der erste und dritte Basisvektor Eienvektoren zum Eigenwert 2, der vierte zum Eigenwert 3. Wir sollten also f(v₂) = 2v₂ + v₁ setzen.

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Und wofür nehmen wir dann die Matrix? Ich habe probiert, mit B^-1JB zur Matrix zu kommen, aber da kommt auch nicht das richtige raus.

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Wie sieht deine Matrix B aus?

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Ich habe \( \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \) genommen.

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D.h. B = JNF?

Wähle eine Basis wie oben, evtl. gehen v₂ = e₁, v₄= e₄. Die Darstellungmatrix ist dann A = (f(v₁,...f(v₄).

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Ich verstehe es leider immer noch nicht, und ich muss die Aufgabe auch bald abgeben, aber danke für deine Hilfe!