Aber, wenn drei Vektoren nicht komplanar sind heißt, dass nicht, dass diese nicht in der in der selber Ebene liegen, …

Question

Wenn drei Vektoren komplanar sind, dann liegen sie in einer Ebene. Aber, wenn drei Vektoren nicht komplanar sind heißt, dass nicht, dass diese nicht in der in der selber Ebene liegen, sofern die Bedingung nicht eingeführt wird, dass zwei Vektoren nicht kollinear zueinander sein dürfen, oder?

Answer 1

Wenn drei Vektoren nicht komplanar sind, dann lassen sie sich nicht als Linearkombination untereinander darstellen (linear unabhängig). Dann können sie aber auch nicht in einer Ebene liegen, da sich drei Vektoren in einer Ebene stets als Linearkombination darstellen lassen. Dabei spielt es keine Rolle, dass für die Bildung einer Ebenengleichung die Richtungsvektoren kollinear sein müssen. Sobald zwei der drei Vektoren kollinear sind, sind alle drei Vektoren sofort komplanar, da du dann mit den zwei nicht kollinearen Vektoren eine Ebene aufspannen kannst und der dritte kollineare Vektor ja ebenfalls in dieser Ebene liegen muss.

Comments

Offenbar herrscht eine babylonische Sprachverwirrung. Begriffe wie kollinear, komplanar, Ebene gehören zur Sprache der affinen Goemetrie, wenn es um Vektoren geht, sollte man von linearer Abhängigkeit und Unterräumen sprechen. Zwar ist jeder Vektorraum auch ein affiner Raum, aber man sollte das besser auseinanderhalten.

In der Frage heißt es

wenn drei Vektoren nicht komplanar sind heißt, dass nicht, dass diese nicht in der in der selber Ebene liegen

Nach "sind" gehört ein Komma. Es folgen 2x "nicht". Ich verstehe nicht, was du meinst.

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Es geht ums Abitur und analytische Geometrie

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Vielen Dank Apfelmännchen für die hilfreichen Beiträge.

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Sehr gerne. Ich hoffe, sie helfen dir weiter. :)

Answer 2

Wenn drei Vektoren komplanar sind, dann sind insbesondere

je 2 von ihnen nicht kollinear.

Es gibt also keine Ebene in der alle drei liegen. Man sagt auch:

Die drei sind linear unabhängig.

Comments

Die Frage besteht aus 2 Sätzen und die nicht ganz reguläre Kommmasetzng macht es schwer, das zu verstehen. Teile doch den 2. Satz in zwei. Was bedeutet "sofern"?

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Komplanar bedeutet aber gerade, dass die drei Vektoren linear abhängig sind und somit in einer Ebene liegen. Die Antwort ist irgendwie seltsam.

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In der Frage hieß es:

"wenn drei Vektoren NICHT komplanar..."

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In deiner Antwort heißt es aber

Wenn drei Vektoren komplanar sind,

mit dieser Einleitung zu schlussfolgern, dass es keine drei Vektoren gibt, die in einer gemeinsamen Ebene liegen, ist sprachlich betrachtet sehr ungeschickt. Zumal es mathematisch auch falsch ist. Wenn drei Vektoren komplanar sind, können sie auch paarweise kollinear sein. Und dann am Ende zu schlussfolgern, dass die drei Vektoren, die zu Beginn deiner Antwort komplanar waren, linear unabhängig sind, ist ein Widerspruch.