Drei Vektoren sind genau dann linear abhängig, wenn sie in einer Ebene liegen... Etwas unklar.

Question

also überall steht ja, dass drei Vektoren genau dann linear abhängig sind, wenn sie in einer Ebene liegen. Aber was ist mit $$a = (2~~3~~-4),~b=(0~~0~~3),~c=(3~~0~~0)$$ und der Ebene $$\epsilon: x = a + \lambda (b-a) + \mu (c-a)$$? Offensichtlich liegen alle drei Vektoren a,b,c in der Ebene, aber sie sind auch linear unabhängig?!

?


Danke,

Thilo

Answer 1

a, b und c sind hier bei dir Punkte. (b - a) und (c - a) sind 2 Vektoren, die eine Ebene aufspannen.

Verwechsel also nicht Punkte und Vektoren miteinander.

Comments

Man kann a, b und c aber doch auch als Ortsvektoren auffassen, oder?

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Ja. Aber die Ortsvektoren liegen ja nicht in der Ebene, die durch die Ortsvektoren aufgespannt werden. Dann müsste der Koordinatenursprung auch in der Ebene liegen.

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Okay, das heisst, wenn ich jetzt überprüfen wollte, ob der Vektor a in der Ebene liegt, die durch c-a und b-a aufgespannt wird, dann müsste ich überprüfen, ob $$a = \lambda (b-a) + \mu (c-a)$$ eine Lösung hat? Es gibt keine Lösung, also liegt der Vektor a nicht in der Ebene?

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richtig. so würde man das formal zeigen.

Answer 2

Deine Gleichung zeigt: Die 3 Punkte mit den von dir angegebenen Ortsvektoren liegen in einer Ebene.

Das heisst noch lange nicht, dass die 3 Ortsvektoren selbst in einer Ebene liegen.

Comments

Und wie überprüfe ich, ob ein Vektor in einer Ebene liegt?

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Du kannst ja eigentlich nur überprüfen, ob ein Vektor (z.B. c) parallel zu einer Ebene (z.B. aufgespannt von a und b) verläuft.

Dazu müsste c = sa + tb eine Lösung haben, mit s und t Element R

Answer 3

Offensichtlich liegen alle drei Vektoren a,b,c in der Ebene

In der Ebene liegen die Vektoren ( b - a ) und  ( c - a ), denn sie spannen die Ebene auf, sowie alle Linearkombinationen dieser beiden Vektoren.

Die Vektoren a, b und c hingegen liegen nicht in der Ebene. Sie sind Ortsvektoren von Punkten, die in der Ebene liegen, verlaufen also vom Ursprung zu diesen Punkten.