Man bestimme eine Potenzreihe, welche die Differentialgleichung löst.

Question

Aufgabe:

Man bestimme eine Potenzreihe, welche die Differentialgleichung

\(

y^{\prime \prime}+x² y=0, \quad y(0)=1, y^\prime(0)=0 \)

löst.

Answer 1

Ansatz y = ao + a1x + a2x² + a3x³ + a4x⁴ + ........ + anxⁿ +

y' = a1 + 2a2x + 3a3x² + 4a4x³ + ...          + nanx^n-1 +

y '' = 2a2 + 6a3x + 12a4x²+ 20a5x³ + 30a6x⁴+ 42a7x⁵...... + (n-1)nanx^n-2

x² y =0 + 0x + aox² + a1x³ + a2x⁴ + a3x⁵ + a4x⁶ + ........ + anxⁿ⁺² +...

y '' +  x² y = 0

y'' = -x² y

neuer Versuch:

y(0) =1 = a0---> a0 = 1

y'(0) = 0 = a1 ---> a1 = 0

ao = -12a4 = 1 ---> a4 =- 1/12

a1 = 0 = -20a5 ---> a5 = 0

2a2 =0, a2 =0

a3 = 0

a2 = -30a6 ---> a6 = 0

a3 = - 42a7 ---> a7 = 0

-1/12 = a4 = - 7*8a8 → a8 = 1/12 : 56 = 1/((3*4)(7*8))

nächste 3 wieder 0,

12*11*a12 = 1/((3*4)(7*8)

a12 = - 1/((3*4)(7*8)*(11*12))

usw.

allgemein:

a_(4n) = (-1)ⁿ /((3*4)(7*8) .... ((4n-1)*4n))

a_(4n+1) = a_(4n+2) = a_(4n+3) = 0

Bitte sorgfältig nachrechnen und bei Bedarf korrigieren. Danke.

Comments

\(y(x)=1\) ist sicher keine Lösung der DGL.
Ich habe mir deine Rechnung nicht im Detail angeguckt, aber du hast da \(x^2y''\) berechnet, in der DGL geht es aber um \(x^2y\). Da müsste der Fehler sein.

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Super. Danke. Ich nehme mal den fehlerhaften Teil weg und rechne weiter / fertig.