Wie löst man diese schwere Differentialgleichung?

Question

könntet ihr mir helfen diese schwere Differentialgleichung zu lösen?

$$y'=\frac{x+y-2}{y-x-4}$$

Ich habe bereits einen Ansatz gemacht und versucht das ganze über die Wronski-Determinante zu bestimmen aber komme ab einem bestimmten Punkt nicht mehr weiter.

ich habe zuerst $$det\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$$ bestimmt und komme damit auf y=3 bzw. x=-1.

Dann habe ich a=x+1 und b=y-3 gesetzt und damit dann die Differentialgleichung so vereinfacht:

$$y'=\frac{a+b}{-a+b}$$

Und ab hier komme ich leider nicht mehr von alleine weiter, ich denke dass es hier auf eine Variation der KOnstanten hinausläuft aber wie genau weiß ich nicht.

Könnt ihr mir helfen weiterzumachen bzw. sagen, ob mein bisheriger Weg so richtig ist?

MfG

Pizzaboss

Answer 1

Hallo,

Wronski-Determinante funktioniert hier nicht, dazu benötigst Du einen homogenen Teil

und partikulären Teil. z.B y'' +y= 1/cos(x) geht über Wronski-Determinante.

Diese Struktur hast Du aber hier nicht.

Ich würde es so tun:

Substituiere :

z= y-x-4

y=z +x+4

y'= z' +1

->in die DGL eingesetzt:

z' +1 = (x+z +x+4 -2)/z

dz/dx +1 = (2x+z +2)/z

dz/dx = (2x+z +2)/z  -1 

dz/dx = (2x+2)/z ->Trennung der Variablen

z dz=(2x+2) dx

usw.