Wie löst man diese Gkeichungen

Question

Text erkannt:

\( 0<\% 88 \% \)
Titel
\( \begin{array}{l} \text { b) } a x^{3}+b x^{2}+c x+d \\ f^{\prime \prime}(x)=3 a x^{2}+2 \cdot b \cdot x+c \\ f^{\prime \prime}(x)=6 a x+2 b \end{array} \)
A) \( f(0)=1 \)
B) \( f(3)=1 \)
w) \( f^{\prime \prime}(1)=-1 \)
A) \( a \cdot 0^{3}+b \cdot 0^{2}+c \cdot 0+d=1 \)
B) \( a \cdot 3^{3}+b \cdot 3^{2}+c \cdot 3+d=1 \)
w) \( 6 a \cdot 1+2 b=-1 \)
A) \( d=1 \)
B) \( 27 a+9 b+3 c+d=1 \)
c)
\( \begin{array}{l} 6 a+2 b=-1 \mid-2 b \\ 6 a=-2 b-1 \mid: 6 \\ a=-\frac{1}{3} b-\frac{1}{6} \end{array} \)
\( \begin{array}{c} 6 \cdot-\frac{1}{3} b \quad+2 b-\frac{1}{6}=-1 \\ \frac{5}{3} b-\frac{1}{6}=-1 \mid+\frac{1}{6} \end{array} \)

Text erkannt:

\( < \) Titel
\( \begin{array}{l} 6 \cdot-\frac{1}{3} b \quad+2 b-\frac{1}{6}=-1 \\ \frac{5}{3} b-\frac{1}{6}=-1 \mid+\frac{1}{6} \\ \frac{5}{3} b=-\frac{5}{6} \mid: \frac{5}{3} \\ b=-\frac{1}{2} \\ 6 a+2 \cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-1 \\ 6 a-4=-1 \mid+4 \\ 6 a=3 \mid: 6 \\ a=\frac{1}{2} \\ 27 a+9 b+3 c+d=1 \\ 27 \cdot \frac{1}{2}+9 \cdot\left(-\frac{1}{2}\right)+3 c+1=1 \\ \frac{27}{2}-\frac{9}{2}+3 c=0 \mid \\ 9+3 c=0 \mid-9 \end{array} \)

Text erkannt:

\( < \) Titel
\( \begin{array}{l} 6 a+2 \cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-1 \\ 6 a-4=-1 \mid+4 \\ 6 a=3 \mid: 6 \\ a=\frac{1}{2} \\ 27 a+9 b+3 c+d=1 \\ 27 \cdot \frac{1}{2}+9 \cdot\left(-\frac{1}{2}\right)+3 c+1=1 \\ \frac{27}{2}-\frac{9}{2}+3 c=0 \mid \\ 9+3 c=0 \mid-9 \\ 3 c=-9 \mid: 3 \\ c=-3 \end{array} \)
\( f(x)=\frac{1}{2} x^{3}-\frac{1}{2} x^{2}-3 x+1 \)

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Ich habe die falsche Gelcihung aufgestellt, da x^3-3x^2+1 hätte rauskommen sollen.

Answer 1

Ich nehme an, der Wendepunkt W ist gegeben. Da ich die Koordinaten von W nicht kenne, nenne ich W(a|b). Dann gelten die Gleichungen f(a)=b und f ''(a)=0. Dann hast du zusammen mit deiner ersten beiden Gleichungen 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten, was man lösen kann.

Falls das nicht weiterhilft, veröffentliche bitte den Aufgabentext.

Answer 2

\(f(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d\)

1.)

\(f(0)=1\)

\(f(0)=d\)  →   \(d=1\) →   \(f(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+1\)

\(f(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+1\)

2.)

\(f(3)=1\)  → \(f(3)=27a+9b+3c+1\) → \(27a+9b+3c+1=1\) →

→ \(27a+9b+3c=0\) → \(9a+3b+c=0\)  → \(c=-9a-3b\)

\(f(x)=a x^{3}+b x^{2}+(-9a-3b) x+1\) →\(f(x)=a x^{3}+b x^{2}-(9a+3b) x+1\)

\(f´(x)=3a x^{2}+2b x-(9a+3b) \)

\(f´´(x)=6ax+2b \)

3.)

\(f´´(1)=-1\)  → \(f´´(1)=6a+2b \)  → \(6a+2b=-1 \) → \(2b=-1-6a \) → \(b=\frac{-1-6a }{2} \)→

→ \(b=-\frac{1+6a }{2} \)   Einsetzen in \(c=-9a-3b\) :   \(c=-9a-3\cdot(-\frac{1+6a }{2})\)→

→\(c=-9a+3\cdot(\frac{1+6a }{2})\) →\(c=-9a+\frac{3}{2}+9a\) →\(c=\frac{3}{2}\)

\(f(x)=a x^{3}-\frac{1+6a }{2} x^{2}+\frac{3}{2} x+1\)

Es fehlt noch eine Bedingung, damit \(a\) berechnet werden kann.

Answer 3

Hallo,

offenbar geht der Graph durch die Punkte A (0|1), B (3|1) und hat einen Wendepunkt W (1|-1).

Dann lauten die Gleichungen, die du für die vier Unbekannten brauchst:

\(f(0)=1\quad \Rightarrow d = 1\\ f(3)=1\quad \Rightarrow 27a+9b+3c+1=1\\ f(1)=-1\quad \Rightarrow a+b+c+1=-1\\ f''(1)=0\quad \Rightarrow 6a+2b=0\)

Das Gleichungssystem kannst du jetzt mit deinem Casio lösen.

Gruß, Silvia