Zusammenhang e-Funktion?

Question

ich rede von exponentiellem Wachstum.
Angenommen wir haben eine Wachstumsrate von 10%, das sind ja ausgedrückt für die Rechnerei 1,1.
e ^ ( ln(1,1) * X )
ist ja genau das gleiche wie
1,1 ^ X.
Wenn ich nun für X  den Wert 2 einsetze ist es ja:
e ^ ( ln(1,1) * 2)
oder
1,1 ^ 2.
Wo ist da aber die Logik oder der Zusammenhang?
Ich weiß dass 1,1 x 1,1 gerechnet werden, aber bei der e-Funktion wird der nötige Exponent einfach mal 2 genommen.
Es ist ja so :
ln(x) : was muss man e hoch nehmen, um auf x zu kommen.OK, dann haben wir dieses x, aber wenn wir es jetzt einfach * 2 nehmen, wie kann es das gleiche wie 1,1 ^ 2 sein?
Ich hoffe, ihr konntet mir bis hierhin folgen, es ist halt alles durcheinander im Kopf, aber ich will es verstehen, um es mir auch merken zu können.

Answer 1

Im Kern fragst du danach warum

1.1 ^x = e ^{ln(1.1^x)} = e ^{x * ln (1.1 )}
ist.. Oder,
das " e " können wir wegfallen lassen und nur die Exponenten vergleichen

ln ( 1.1 ^x ) = x * ln ( 1.1 )

Der " ln " bedeutet
1.1 = e ^z = e ^0.09531
ln ( 1.1 ) = 0.09531

Beispiel x = 2
1.1 ^2 = ( e ^0.09531 ) ^2  = e ^0.09531 * e ^0.09531 = e ^{2*0.09531}
1.1 ^3 = ( e ^0.09531 ) ^3  = e ^0.09531 * e ^0.09531* e ^0.09531 = e ^{3*0.09531}
1.1 ^x = ( e ^0.09531) ^x = e^{x*0.09531} = e ^{x * ln(1.1)}

Comments

Danke für die Hilfe, eure Antworten haben mir geholfen.

---

Gern geschehen.

Zum Merken gibt es eigentlich nur 3 Rechenregeln
( zumindest die wichtigsten )

ln ( a * b ) = ln (a ) + ln ( b )
ln ( a / b ) = ln ( a ) - ln ( b )
ln (a^b ) = b * ln ( a )

Answer 2

Vielleicht solltest Du mal die Potenzregeln anwenden (linke Gleichheit) und beachten, das natürliche Exponentialfunktion und natürliche Logarithmusfunktion zueinander Umkehrfunktionen sind (rechte Gleichheit):
$$ \text{e}^{\left( \ln(1.1)\cdot 2\right)} = \left(\text{e}^{\ln(1.1)} \right)^2 = 1.1^2 $$

Comments

Stimmt ist ja quasi eine Potenzregel.

Danke für die Hilfe, eure Antworten haben mir geholfen.