Wir hatten in der Vorlesung ein Bespiel, dass ich nicht ganz verstanden habe:
gegeben ist Matrix A = \( \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 2 \\ -1 & 2 & -2 \end{pmatrix} \)
es soll eine Matrix g ∈ GL3 (ℝ) gefunden werden, sodass gTAg die Form \(\begin{pmatrix} I_k & 0 & 0 \\ 0 & -I_l & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \) hat.
In der Vorlesung wurde dann einmal die bekannte Methode mit charakteristischen Polynom und Eigenwerten, etc erwähnt und dann die Option mit quadratischer Ergänzung:
Betrachte s(v,v) = <v, Av> = -v12 - 2v22 - 2v32 + 2v1v2 - 2v1v3 + 4v2v3 , auch das ist kein Problem, aber:
Zuerst betrachten wie s(v,v) als Funktion von v1 und führen eine quadratische Ergänzung durch:
s(v,v) = -(v1 -v2 +v3)2 + (v2-v3)2 -2v22 -2v32 +4v2v3 = -(v1 -v2 +v3)2 - v22 + 2v2v3 -v32
nun betrachten wir - v22 + 2v2v3 -v32 als Funktion von v2, führen wieder ein quadratische Ergänzung durch und erhalten:
s(v,v)= -(v1 -v2 +v3)2 - (v2-v3)2 = -w12 - w22 = -w12 - w22 + 0w32 mit w=\( \begin{pmatrix} w_1\\w_2\\w_3 \end{pmatrix}\) =B \( \begin{pmatrix} v_1\\v_2\\v_3 \end{pmatrix}\) = Bv und
B= \(\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)
Es folgt: s(v,v)= -w12 - w22 = <Bv, \( \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \) Bv> = <v, BT \( \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \) Bv>
Somit erhalten wir: A = BT \( \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \) Bv und gTAg = \( \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \) mit
g= B-1 = \( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \) ∈ GL3(ℝ)
Kann mir das jemand erläutern mit der quadratischer Ergänzung, wie und was dort gemacht wurde ?
