Es sei \(M=\begin {pmatrix} a & b \\ b & d \end{pmatrix}\) eine reelle, symmetrische 2x2-Matrix.

Question

eine reelle, symmetrische  \((2×2)-Matrix\). Zeigen Sie ohne Verwendung des Satzes von Hurwitz, dass \(M\) genau dann positiv definit ist, wenn  \(a > 0\) und  \(detM > 0\).

Hinweis: Verwenden Sie quadratische Ergänzung.

Answer 1

Die quadratische Form ist $$Q(x,y)=ax^2+2bxy+dy^2.$$ An der sollst Du mit quadratischer Ergaenzung rummachen, bis man man das gewuenschte ablesen kann. Hilfreich ist \(aQ\) zu betrachten.

Comments

Kann mir jemand dazu ein Beispiel zeigen?  Ich brauche keine Musterlösung, aber ein Beispiel würde mir sehr helfen.

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Du kannst in \(a^2x^2+2abxy\) nicht die ersten zwei Glieder eines Ausdrucks der Form \((\alpha+\beta)^2\) erkennen? Dann hast Du noch nie was von quadratischer Ergaenzung gehoert. Beispiele stehen in der Wikipedia oder in alten Matheheften aus der Mittelstufe.