Finden Sie eine Matrix A ∈ ℝ^2x2, für die gilt: \( \begin{pmatrix} 2-e & -1+e \\ 2-2e & -1+2e \end{pmatrix} \)

Question

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Aufgabe:

Sei exp(A) = e^A  = \( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{1/k!*A^k} \) das Matrixexponential von A.

Finden Sie eine Matrix A ∈ ℝ^2x2, für die gilt:

exp(A) = \( \begin{pmatrix} 2-e & -1+e \\ 2-2e & -1+2e \end{pmatrix} \)

Problem/Ansatz:

Ich weiß inzwischen wie ich e^A  zu berechnen habe, allerdings habe ich bei dieser Aufgabe Probleme und kriege es nicht hin. Wäre über Hilfe sehr dankbar!

Answer 1

$$\exp(A)=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&0\\0&\operatorname e\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}^{-1}$$$$A=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}-1&1\\-2&2\end{pmatrix}.$$