Zeigen Sie, dass f in (0,0) für jede Richtung v:= \begin{pmatrix} v1\\v2 \end{pmatrix} ∈ ℝ mit |v| = 1 die …

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass f in (0,0) für jede Richtung v:= \( \begin{pmatrix} v1\\v2 \end{pmatrix} \) ∈ ℝ mit |v| = 1 die Richtungsableitung \( \frac{∂f}{∂v} \) (0,0):=  lim h->0 (f(0+hv1, 0,hv2) - f(0,0)) / h = 0 besitzt.

f(x,y) = \( \frac{2xy^2}{x^2+y^4} \)

Problem/Ansatz:

Nach Umformen komme ich irgendwann auf: (2*v1^2*v2^2) / ( (1/h^2) * v1^2 + v2^4

Wie kriege ich die Aufgabe richtig aufgelöst?

Comments

Du hast Dich irgendwie verrechnet oder bie der Aufgabe verschrieben? Deine Lösung sieht nach eine Zähler x^2y^2 aus??

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Zähler \(x^2 y^2\)

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Hi,

f(x,y) habe ich richtig angegeben. Zähler ist 2x*y^2.

Aber die Aufgabe kam bei einer anderen Funktion dran. Ich wollte speziell für f(x,y) ebenfalls die Richtungsableitung als Übung berechnen. Geht das überhaupt, oder hängt es davon ab, wie f(x,y) definiert ist?

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Dann würde ich vorschlagen, dass Du Deine Rechnung postest. Bzw. was ist eigentlich f(0,0)?

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Naja, f(0,0) sind x = 0 und y =0 in die fkt f eingesetzt und aufgelöst. Kommt 0 raus da der zähler null wird.

Ich tippe gleich nach einer Vorlesung meine Rechnung ab. Dankeschön.

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Zähler wird 0 und Benner such?!

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Ja? 0 plus 0 ist null

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Hier meine Rechnung:

f(x,y) = \( \frac{2xy^2}{x^2+y^4} \)

Richtungsableitung (ich schreib das limes nur einmal am Anfang hin):

lim_h→0  \( \frac{f(h*v1, h*v2) - f(0,0)}{h} \)  = \( \frac{2*h^2v1^2 * h^2 * v2^2}{h^2v1^2 + h^4 * v2^4} \) = \( \frac{2*h^2v1^2 * h^2v2^2}{h^2(v1^2 + h^2*v2^4)} \) = \( \frac{2*h^2v1^2 * h^2v2^2}{h^4((1/h^2)*v1^2 + v2^4)} \) = \( \frac{2* v1^2 * v2^2}{1/h^2 * v1^2 + v2^4} \)

Bis dahin ...

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1. \(f(0,0)=\frac{0}{0}\): Dieser Bruch ist nicht definiert. Ohne eine Festlegung für f(0,0) ist die Aufgabe unvollständig.

2. Wenn im Zähler von f ein \(x^1\) steht und Du setzt \(x=hv_1\) ein, wie erhältst Du dann \(v_1^2\)?

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Zu 1. Ist laut Aufgabenstellung definiert, habe ich weggelassen, sorry.

Zu 2. Du hast recht, ich habe direkt zu Beginn schon einen Fehler. Ich rechne das nochmal neu und melde mich! Vielen Dank!

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Habe nochmal neu gerechnet:

\( \frac{2*h*v1 * (hv2)^2}{(h*v1)^2+((h*v2)^4)} /h \) = \( \frac{2*h*v1 * (hv2)^2}{(h*v1)^2+((h*v2)^4) * h} \)  = \( \frac{2*v1 * (hv2)^2}{(h*v1)^2+((h*v2)^4)} \)  ... Wie mache ich jetzt weiter?

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Du kannst in Zähler und Nenner h^2 ausklammern. Dann den Grenzübergang ausführen...

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Stimmt, in den Klammern ist ja * und nicht + oder minus, also KEINE binomische Formel und ich kann einfach ausklammern.

Dann erhalte ich: \( \frac{2*v1 * v2^2}{(v1)^2+(h^2*v1^4)}  \)

und nun?

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Jetzt h gegen 0....

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Wegen h gegen 0 gilt: \( \frac{2*v1 * v2^2}{(v1)^2}  \) ?

Answer 1

Ja, das gilt im Fall, dass v1 ungleich 0 ist. Problem ist dass Du geschrieben hast dass das Ergebnis 0 sein sollte.

Ich würde jetzt nochmal den Origibal Aufgabentext prüfen und dann den Aufgabensteller kontaktieren.

Comments

Entschuldigung, das ist natürlich Käse. Ich sehe gerade in meinen Altklausuren, dass bei einer Funktion die Aufgabe gestellt war, mit = 0, bei einer anderen wiederum eine, wo das = 0 fehlt, UND, bei dieser Funktion von dieser Frage hier, gab es die Aufgabe gar nicht, ich habe sie einfach nur auf diese Funktion bezogen und übernommen, um etwas zu üben. Das heißt ja dann aber also wohl, dass man diese Aufgabenstellung nicht so einfach für jede Funktion lösen kann?