Mengen, Symmetrie, Beweise

Question

Hallo ihr lieben, es geht um die Aufgabe 34 und 35.

Bei der 35 hätte ich ganz einfach durch Anwendung von Potenzregeln und des Kommutativgesetzes schlussgefolgert, dass die Aussage stimmt. Bin mir ziemlich sicher, dass das absolut nicht richtig ist.. :D

Und bei Aufgabe 35 hab ich absolut keine Ahnung, wie ich da anfangen könnte. Ich denke, dabei könnte Aufgabe 34 bestimmt helfen, wenn man da auch schon nen richtigen Ansatz gefunden hätte..

Bin über Anregungen sehr dankbar!

34. Sei \( A=\left(a_{i, j}\right) \in \mathbb{R}^{m \times n} \) und \( B=\left(b_{i, j}\right) \in \mathbb{R}^{n \times p} \). Zeigen Sie, dass \( (A B)^{T}=B^{T} A^{T} \) gilt.

35. Für \( A \in \mathbb{R}^{m \times n} \) sei \( B=A^{T} A \) und \( C=A A^{T} \). Zeigen Sie, dass \( B \) und \( C \) symmetrisch sind, also \( B=B^{T} \) und \( C=C^{T} \) gilt.

Answer 1

Aloha :)

zu 34) Sei \(\mathbb K\) ein beliebiger Körper, es müssen nicht unbedingt die reellen Zahlen \(\mathbb R\) sein.

Für \(A\in\mathbb K^{m\times n}\) und \(B\in\mathbb K^{n\times p}\) gilt \(AB\in\mathbb K^{m\times p}\) bzw. \((AB)^T\in\mathbb K^{p\times m}\). Wir betrachten das Element \((AB)^T_{ik}\) der transponierten Produktmatrix mit \(i=1,\ldots,p\) und \(k=1,\ldots,m\):$$(AB)^T_{ik}=(AB)_{ki}=\sum\limits_{j=1}^n a_{kj}b_{ji}=\sum\limits_{j=1}^n b_{ji}a_{kj}=\sum\limits_{j=1}^n (B^T)_{ij}(A^T)_{jk}=(B^TA^T)_{ik}$$Da diese Rechnung für alle Elemente der Produktmatrix möglich ist, gilt$$(AB)^T=B^TA^T$$

zu 35) Wende das Ergebnis aus 34) an:$$B^T=(A^TA)^T\stackrel{(34)}{=}A^T(A^T)^T=A^TA=B$$$$C^T=(AA^T)^T\stackrel{(34)}{=}(A^T)^TA^T=AA^T=C$$