Berechnung des Eulerschen Integrals

Question

Das Integral in den Grenzen von - unendlich bis + unendlich von e^-(x^2) ist Wurzel aus Pi. Wie kommt man auf diese Lösung?

Answer 1

Man betrachtet erstmal das Quadrat dieses Integrals:$$\left(\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} \ dx\right)^2=\left(\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} \ dx\right)\cdot \left(\int_{-\infty}^\infty e^{-y^2} \ dy\right)=\int_{-\infty}^\infty e^{-(x^2+y^2)} \ dy\ dx$$Dieses Integral kann man durch den Übergang zu Polarkoordinaten berechnen, es hat den Wert \(\pi\). Durch Wurzelziehen kommt man dann auf den Wert des ursprünglichen Integrals.

Answer 2

Ich würde es über die bekannte Fehlerfunktion erf(x) machen:

( siehe http://www.lamprechts.de/gerd/php/RechnerMitUmkehrfunktion.php und Wikipedia)

zunächst reicht die integralgrenze ab 0, da man 2 mal das selbe bekommt:

∫ ...x² ... dx,x=-∞...∞ = 2 * ∫ ...x² ... dx,x=0...∞  

=  lim 2 * [ sqrt(Pi)*erf(n)/2 ] mit n -> ∞

= sqrt(Pi) * lim erf(n) mit n -> ∞

bekannt, dass erf(n) schnell gegen 1 konvergiert...

fertig.

Zugabe:

a) Natürlich funktioniert es auch mit der Taylor-Summe (Reihenentwicklung) ...

b) (-1)^k=e^{i * Pi*k}