Bestimmung von Konvergenzradien. Bsp. Σ (-1)^n(2^n + 1)/n * t^n

Question

Aufgabe:

Bestimme die Konvergenzradien folgender Potenzreihen über \( \mathbb{R} \).

(i) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}\left(2^{n}+1\right)}{n} \cdot t^{n} \)

(ii) \( \sum \limits_{n=0}^{\infty}\left(\frac{3 n^{2}}{2 n^{2}+1}\right)^{n} \cdot t^{n} \)

und untersuche die Reihe in (i) auf Konvergenz in den Randpunkten.

Answer 1

Hi,
zu (i)
Der Konvergenzradius berechnet sich nach
$$ r = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| $$ Es gilt
$$ \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \frac{(2^n+1)(n+1)}{n(2^{n+1}+1)} = \frac{1+\frac{1}{2^n}}{2 \left( 1+\frac{1}{2^{n+1}} \right)} \left(1+\frac{1}{n}\right) \to \frac{1}{2} $$
Für \( t = \frac{1}{2} \) gilt
$$ \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n (2^n+1)}{n}\frac{1}{2^n} = \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n}\left(  1+\frac{1}{2^n} \right)  $$ ist nach dem Leibnitzkriterium konvergent.
Für $$ t = -\frac{1}{2}  $$ gilt
$$ \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n (2^n+1)}{(-1)^n n}\frac{1}{2^n} =  \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\left( 1+\frac{1}{2^n} \right) > \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} $$ Damit hat man eine divergente Minorante gefunden und die Reihe divergiert für \( t = -\frac{1}{2} \)

Zu (ii)
$$ r = \frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}} = \limsup_{n\to\infty}\frac{2n^2+1}{3n^2} = \frac {2}{3}  $$