Hi,
das Cauchyprodukt besagt, dass für absolut konvergente Reihen \( a_n \) und \( b_n \) gilt
$$ \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot \sum_{k=0}^\infty b_k = \sum_{n=0}^\infty \sum_{j=0}^n a_j \cdot b_{n-j} $$ Mit \( a_k =q^k \) folgt
$$ \left( \frac{1}{1-q} \right)^2 = \left( \sum_{n=0}^\infty q^k \right)^2 = \sum_{n=0}^\infty \sum_{j=0}^n q^j\cdot q^{n-j} = \sum_{n=0}^{\infty} (n+1)q^n = \sum_{n=0}^{\infty} nq^n + \frac{1}{1-q} $$
Daraus folgt die Behauptung, in dem man nach \( \sum_{n=0}^{\infty} nq^n \) umstellt.
