Aufgabe:
Zeige, konvergiert \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n} \cdot y^{n} \) für ein \( y \in \mathbb{K} \), so konvergiert \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} n \cdot a_{n} \cdot x^{n-1} \) absolut für alle \( x \in \mathbb{K} \) mit \( |x|<|y| \).
HINWEIS: Schaut euch den Beweis von Lemma \( 12.29 \) an.
Zeige, die Potenzreihen \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n} \cdot t^{n} \) und \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} n \cdot a_{n} \cdot t^{n-1} \) in \( K \) haben denselben Konvergenzradius.
Gilt für \( x \in \mathbb{K} \) stets: \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n} \cdot x^{n} \) konvergent \( \Longleftrightarrow \sum \limits_{n=1}^{\infty} n \cdot a_{n} \cdot x^{n-1} \) konvergent?
