Absolute Konvergenz für Potenzreihen zeigen

Question

Zeige mit Hilfe des Quotientenkriteriums, dass die Potenzreihen für jedes z ∈ ℂ konvergieren.

(a) exp(x) = $$ \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ \frac { { x }^{ n } }{ x! }  } $$

(b) cos(x) = $$ \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ \frac { { { (-1) }^{ n }x }^{ 2n } }{ (2n)! }  }  $$

(c) sin(x) = $$ \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ \frac { { { (-1) }^{ n }x }^{ 2n+1 } }{ (2n+1)! }  } $$

Answer 1

Im Nenner heißt es ja wohl   n!   und nicht   x!.
Zum Qoutientenkriterium bildest du einfach nur

1 /(n+1)!     durch    1 /n!     Das gibt    1/(n+1)      Und wegen Lim  1/n   für n gegen unendlich gleich Null
hast du schon alles gezeigt.
Die Reihe Konvergiert im Konvergenzkreis mit Radius unendlich, also überall.
Ahnlich bei der anderen beiden.

Der Qoutient hat für n gegen Unendlich den Grenzwert 0, also Reihe überall konvergent.

Comments

Gilt das dann automatisch auch für komplexe Zahlen?

---

Ja, der Konvergenzradius ist ja +unendlich.

---

Alles klar