Wie bilde ich die Stammfunktion von 1/(wurzel(x)+x)?

Question

Hallo :)

Ich suche von der Funktion $${ \frac { 1 }{ x+\sqrt { x }  }}$$ die Stammfunktion. Ich habe dies schon mit Wolfram-Alpha berechnet und weiß, dass folgendes heraus kommt: $$\int { \frac { 1 }{ x+\sqrt { x }  } dx=2\cdot \log { (\sqrt { x } +1)+c }  }$$

Nun weiß ich aber leider nicht wie man dies berechnet. Ich habe dabei an Substitution gedacht, aber auch da weiß ich leider keinen richtigen Ansatz. Wäre über eine Hilfe dankbar :)

Gruß

Answer 1

Die Stammfunktion von 1/x ist ln(x)

Answer 2

Substitution ist gut, z.B. \(u=\sqrt{x}\).

Answer 3

Mit ein wenig Vorbereitung kann man schließlich logarithmisch integrieren:

$$ \int{ \frac { 1 }{ x+\sqrt { x }  } \,\text{d}x }\\\,\\ = \int{ \frac { \frac { 1 }{ \sqrt { x } } }{ \sqrt { x } + 1  } \,\text{d}x }\\\,\\ = 2\cdot\int{ \frac { \frac { 1 }{ 2\cdot\sqrt { x } } }{ \sqrt { x } + 1  } \,\text{d}x }\\\,\\ = 2\cdot \ln\left(\sqrt { x } + 1\right)+C. $$

Comments

Achso ja stimmt. Ich kann dann ja folgendes Integral dafür verwenden

$$\int { \frac { f^{ ' }\left( x \right)  }{ f\left( x \right)  } dx=\log { \left| f\left( x \right)  \right| +C }  }$$

Danke :D