Hey bei mir bist du gold richtig; benachrichtige bitte jedes Mal mich, wenn du was nicht verstehst
" Hier wirst du geholfen "
Zunächst einmal gilt es zu verstehen: Nach dem Existenz-und Eindeutigkeitssatz ( mit dem wir nun mal leben müssen ) stellt die Teilbruchzerlegung ( TZ ) eine ENDLICHE Reihenentwicklung dar bis zur HÖCHSTEN ORDNUNG jeder Polstelle ( Du siehst; auch ich kann Deutsch sprechen. Ich sage TZ und nicht " Partial " )
Auch wir haben das in der Vorlesung beim Kulze bewiesen - frag mich bitte nicht, wie. Es gibt schon die wunderlichsten Zerlegungen; so hatte z.B. mein Chef ein schlaues Buch, wo drin bewiesen war, dass unabhängig von der ===> Topologie, egal wie du Gleichstromwiderstände kreuz und quer verschaltest, das gekoppelte LGS nach dem Ohmschen Gesetz immer linear unabhängig ist. Na da weiß der Strom wenisten, wo er fließen soll ...
Ich bin eigentlich Anhänger der komplexen Darstellung; das Polynom ( x ² - x + 1 ) müssen wir ja auch noch in Linearfaktoren zerfällen. Rein teoretisch handelt es sich hierbei um die ersten drei Glieder einer ===> geometrischen Reihe mit dem Quotienten " Minus x " Im Bronstein findest du als Summenformel
s3 = ( 1 + x ³ ) / ( 1 + x ) ( 1 )
In Worten: Du suchst die drei 3. Wurzeln aus Minus Eins. ( 1 ) ist quasi die Polynomdivision ( PD ) neben der reellen Wurzel gibt es noch die ===> primitiven Einheitswurzeln. Satz von Vieta
x ² - p x + q = 0 ( 2a )
p = 2 Re ( z0 ) = 1 ===> Re ( z0 ) = 1/2 ( 2b )
q = | z0 | ² = 1 ===> | z0 | = 1 ( 2c )
Ist das plausibel? Ja; denn Kubikwurzel Ziehen ist äquivalent zur Dreiteilung des Winkels. Minus Eins hat Phase 180 ° ; und cos ( 60 ) = 1/2 . Alles im grünen Bereich.
" Was ist ein Kubikmeter? Wenn sich eine Kuh ein Meter bikt ... "
ich werde unten abkürzend immer z0 schreiben; wir wollen aber stets im Hinterkopf behalten, dass z0 = ( - 1 ) ^ 1/3
Im Grunde genommen ist ja die TZ die böse Schwester der PD . TZ kommt immer dann zum einsatz, wenn
Zählergrad < Nennergrad
Ganz ganz wichtig; sonst funktioniert das nämlich nicht. In allen anderen Fällen ist PD angesagt; und die könnt ihr alle. Für TZ braucht's nämlich Spezialkenntnisse.
Ich hatte dir angekündigt: Wir gehen bis zur Ordnung jeder Polstelle; daher der quadratische Term.
f ( x ) := ( x + 1 ) 2 / ( x - 2 ) 2 ( x 2 - x + 1 ) = ( 3a )
= a / ( x - 2 ) + b / ( x - 2 ) 2 + c / ( x - z0 ) + c* / ( x - z0* ) ( 3b )
Es gibt so etwas wie Betriebsblindheit. Ausgehend von dem zu lösenden LGS - also obigem Existenz-und Eindeutigkeitssatz - türmen Arndt Brünner und Wolfram wahre Monster an KI auf; hier das sind immerhin 4 gekoppelte Unbekannte. Eine Arbeit, die niemand zur Kenntnis nehmen will - ===> Rothstein-Trager ( Für die Feministinnen übrigens FRAU rothstein. )
Ich glaube kaum, dass du sie verstehen wirst; sie steht online. Ich bin quasi ( zehn Jahre zu spät ) der dritte Entdwecker ( knapp daneben ist auch daneben ) sonst hätte ich den Paragrafen von denen über die TZ überhaupt net gerafft ...
Du wirst dir fundierte Kenntnisse aneignen müssen in ===> Funktionenteorie ( FT ) wir brauchen nämlich den vollen ===> Residuenkalkül. Knoppbändchen; Cartan oder McLaughlin - du wirst schon was finden.
Du weißt sicher, dass wenn man ein elektrostatisches Feld längs einem geschlossenen Kreis integriert, die Potenzialdifferenz Null raus kommt. Ein Nämliches behauptet der Cauchysche Integralsatz ( CIS ) der FT .
Und? Was passiert, wenn du ein magnetisches B-Feld integrierst? Angenommen du hast durch ein Blatt Papier n Strom durchflossene Drähte gepiekst. Du das ist ein Integral, das zwischen Innen und Außen unterscheidet; bei einem geschlossenen Kreis kommt heraus die Summe aller Ströme, die im INNENGEBIET des Kreises fließen ===> Robert Wichard Pohl
Analog wieder die Cauchysche Integralformel ( CIF ) der FT . Stellen wir uns eine Funktion w ( z ) vor auf der komplexen Ebene; im Innengebiet des Integrationskreises möge w keine Polstellen haben. Die Funktion w nennen wir " Integralkern " Dann macht die CIF eine Aussage über ein Integral, das man " Residuum " nennt:
F ( z ; z0 ) := ( 1/2Pi i ) w ( z ) / ( z - z0 ) ( 4a )
Diese F-Funktion hat demnach einen einfachen Pol. Und jetzt wieder einmal im Kreis rum 360 ° ; das gibt das Residuum von F ; genauer: Das Residuum in z0 .
Res F | z0 := $ F ( z ) dz = w ( z0 ) ( 4b )
( 4b ) ist die CIF ( Natürlich wäre das Residuum Null, wenn z0 außerhalb des Kreises liegt; mit diesem Trick werden wir nämlich die TZ separieren. ) Das Ergebnis, das sich nicht mal in Standardlehrbüchern durchsetzt; rahme es dir rot ein:
" Das Residuum ist gleich dem Funktionswert des Integralkerns an der Polstelle. "
Was ist zu tun? Auf beiden Seiten der Gleichung ( 3ab ) darfst du das Selbe machen; auch Residuenintegration. Legen wir erst mal einen Kreis um x0 = 2 der so eng sein möge, dass er diese komplexen Polstellen erst mal aussperrt - die Beiträge von c entfallen. Aber was fangen wir mit einem quadratischen Residuum an?
Es scheint Geheimwissen zu sein - siehst du hier ganz deutlich. Mir bereitet es keine Schwierigkeiten; mein IQ war, dass ich im 5. Semester selber dahinter kam. Rothstein-Trager klammern es ausdrücklich aus ...
Vorschlag zur Güte; tu doch in ( 3ab ) die Quadrate erst mal weg muiltiplizieren.
( x + 1 ) 2 / ( x - 2 ) ( x 2 - x + 1 ) = ( 5a )
= a + b / ( x - 2 ) + c ( x - 2 ) / ( x - z0 ) + c* ( x - 2 ) / ( x - z0* ) ( 5b )
In ( 5b ) besitzt die ( konstante ) Funktion a keine Singularität; auf Grund des CIS fällt der Term weg. Dagegen b ist jetzt Integralkern und überlebt. Wie lautet der Kern in ( 5a ) ?
" Alles, was Sinn voll ist. "
G ( x ; 2 ) = ( x + 1 ) ² / ( x 2 - x + 1 ) ( 6a )
Dabei deutet die 2 hinter dem Semikolon auf die Polstelle; jetzt CIF anwenden
b = G ( 2 ; 2 ) = 3 ² / 3 = 3 ( 6b )
Ist das Prinzip erst mal klar? Hier is doch einfacher wie Mitternachtsformel. Jetzt schau mal in deine schlauen Bücher; ein quadratisches Residuum ist doch nix wie eine Ableitung. Diesmal fällt b weg in ( 3b ) als Ableitung einer konstanten Funktion; a überlebt als Integralkern. Und in ( 3a )
a = G ' ( 2 ; 2 ) ( 7a )
Wie schnitzen wir un s jetzt diese Ableitung? sicher nicht mit der quotientenregel; abermals musst du einsehen, dass die absolut tödlich ist. Du musst sie meiden wie die Pest.
( max Zeichen )
