Partialbruchzerlegung von (x^2 + 2x + 4)/(x^3 + 4x) richtig anwenden

Question

Ist es richtig angewendet,

Brauche Hilfe bei Partialbruchzerlegung Ich weiß nicht ob ich es richtig mache

Comments

 KWie kommt man auf das Ergebnis?

Answer 1

Hallo Jan, 

wegen x³ + 4x = x * (x² + 4)   ist der Ansatz  für die PZ

(x² + 2x + 4) / (x³ + 4x)  =  A/x + (Bx+C) / (x² + 4) = [ A*(x²+4) + (Bx+C) * x ] / (x³ + 4x)

.....

→  A = 1  ;  B = 0 ;  C = 2

.....

→  ∫ ...   =  ∫  ( 1 / x  +   / (x² + 4) )  dx 

....

→  ∫ ...     =  arctan(x/2) + ln(|x|) + k  

Einen Lösungsweg für die Integration findest du   hier

Gruß Wolfgang

Answer 2

A = 1 hast du ja.

Aber:

Der Nenner von (x^2 + 2x + 4)/(x^3 + 4x) lässt sich nicht so stark faktorisieren.

(x^2 + 2x + 4)/(x^3 + 4x) = (x^2 + 2x + 4)/(x(x^2 + 4)

= A/x + (Bx+C)/(x^2 + 4)

usw.

Kontrolle zum Schluss mit:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=(x%5E2+%2B+2x+%2B+4)%2F(x%5E3+%2B+4x)

Answer 3

x(x²+4) lässt sich nicht weiter zerlegen. Du hast wohl ein - gelesen, wo + steht.

Answer 4

wenn es noch Probleme mit der Integration gibt:

$$ \int \frac { 1 }{ x } dx=ln|x| \text{ (sollte bekannt sein)}\\\int \frac { 2 }{ x^2+4 } dx=\int\frac { 2 }{ 4((x/2)^2+1)}dx \\\text{Substitution: } x/2=z,dx=2dz\\\int\frac { 2 }{ 4((x/2)^2+1) }dx=\int\frac { 2 }{ 4((z)^2+1) }2dz\\=\int\frac { 1 }{ z^2+1 }dz=arctan(z)=arctan(x/2)$$

Comments

woher kommt z= x/2 her?

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Das ist eine Substitution. https://de.wikipedia.org/wiki/Integration_durch_Substitution

Es handelt sich dabei um eine Umkehrung der Kettenregel zur Lösung von Integralen.

Das macht man um auf das Standardintegral

$$\int\frac { 2 }{ 4((z)^2+1) }2dz$$, welches durch arctan(z) gelöst wird,
zu kommen.Die Substitution z=x/2 muss man allerdings erraten oder aus Erfahrung wissen, eine allgemeine Anleitung was man substituieren muss, gibt es nicht.