Produktionsfunktion mit Nebenbedingungen Maximieren mithilfe der Lagrange Funktion mit 2 Unbekannten

Question

uns ist eine Produktionsfunktion gegeben mit F(L,K)=L0,5*K^0,5, wobei  Anzahl der Arbeiter und K das investierte Kapital ist. Mit der Nebenbedingung, dass jeder Arbeiter ein Jahresgehalt von 53.00 Euro erhält. Außerdem sollen die Zinsen für das investierte Kapital 5% pro Jahr betragen. Das Unternehmen hat 5 Millionen Euro für Lohn- und Zinszahlungen zur Verfügung.

Wir sollen nun L und K der Produktionsfunktion maximieren und berechnen.

Uns ist klar dass wir hier eine Lagrange Funktion aufstellen müssen, das haben wir uns überlegt
L=L^0,5*k^0,5+Lambda(5Mio. -(53000L+0,05K)

dL/dL=0,5L^-0,5*k^0,5-53000*Lambda
dL/dK=0,5L^0,5*k^-0,5-0,05*lambda
dL/dLambda=5Mio. - 53000L-0,05K

wir wollten nun Gleichung 1 und 2 nach Lambda einfach gleichsetzen,

(L^{-0.5}*K^{0.5})/53000=(L^{0.5}*K^{-0.5})/0,05

da erhalten wir aber ein Ergebnis, dass vermutlich nicht stimmt, kann uns jemand bitte weiterhelfen.

Über ausführliche Rechenwege wäre wir sehr dankbar :)

Answer 1

Aus dem geposteten Lückentext habe ich folgende mathematische Aussage herauszuschälen versucht:

$$ f(a,b)=a^\frac12 \cdot b^\frac12 $$
$$ g(a,b)=a \cdot 53 \cdot 10^3+ b \cdot 0,05- 5 \cdot 10^6 $$

ist das in Eurem Sinne ?

Oder fehlt noch was ?

Comments

ja die Aufgabe ist genauso und wie findet man die Werte für die unbekannte?

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$$f(a,b)=a^\frac12 \cdot b^\frac12 $$$$ g(a,b)=a \cdot 53 \cdot 10^3+ b \cdot 0,05- 5 \cdot 10^6 $$

$$\Lambda(a,b,\lambda)=  f(a,b)   + \lambda \cdot g(a,b)$$
$$\Lambda(a,b,\lambda)=  a^\frac12 \cdot b^\frac12    + \lambda \cdot (a \cdot 53 \cdot 10^3+ b \cdot 0,05- 5 \cdot 10^6)$$
$$\frac{\partial \, \Lambda(a,b,\lambda)}{\partial \, a}=  \frac 12 a^{-\frac12} \cdot b^\frac12    + \lambda  \cdot 53 \cdot 10^3$$
$$\frac{\partial \, \Lambda(a,b,\lambda)}{\partial \, b}=  a^\frac12 \cdot \frac 12 b^{-\frac12  }  + \lambda \cdot   0,05$$
$$\frac{\partial \, \Lambda(a,b,\lambda)}{\partial \, \lambda}= a \cdot 53 \cdot 10^3+ b \cdot 0,05- 5 \cdot 10^6$$
Nullstellen der Ableitungen suchen ... und zwar ALLE!

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Ohne Lack-Crunch gehts übrigens viel flotter:

$$P(a,b)=   a^{\frac12} \cdot b^\frac12  $$
$$b \cdot 0,05= -a \cdot 53 \cdot 10^3 + 5 \cdot 10^6$$
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$$P(a,b)=  \sqrt{ a \cdot b } $$
$$b =  10^8 - 106 \cdot 10^4 \, a $$
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$$P(a)=  \sqrt{ a \cdot (10^8 - 106 \cdot 10^4 \, a) } $$
zum ableiten brauchemer die Wurzel nich, weil wir ja nur das Maximum suchen, also:
$$0=  10^8 - 106 \cdot 10^4 \, \cdot 2a  $$
und fertsch!