Ein Kapital von 1000€ wird mit 8% Zinsen angelegt. In welcher Zeit verdoppelt sich das Kapital?

Question

Wir haben folgende Funktion für das exponentielle Wachstum: B(t) = B(0) * q^t

Wenn man die Werte einsetzt sieht die Funktion so aus: B(t) = 1000€ * 8%^t

Wie stelle ich die Formel nun nach t um? In der Schule Hatten wir noch keine e Funktion oder so aber den Logarithmus.

Answer 1

Wir haben folgende Funktion für das exponentielle Wachstum: B(t) = B(0) * q^t

Wenn man die Werte einsetzt sieht die Funktion so aus: B(t) = 1000€ * 8%^t

Wie stelle ich die Formel nun nach t um? In der Schule Hatten
wir noch keine e Funktion oder so aber den Logarithmus. 

Leider ist einige falsch. Insbesonder beim Zinssatz.

Reine Zinsen werden berechnet durch
1000 * 0.08 = 80

Das Kaptial was insgesamt vorhanden ist beträgt nach 1 Jahr
Anfangskapital + Zinsen
b(0) + b(0) * 0.08
b(0) * 1 + b(0) * 0.08
b(0) * ( 1 + 0.08 )
b(0) * 1.08

1.Jahr :  b(0) * 1.08
2.Jahr :  b(0) * 1.08  * 1.08 = b(0) * 1.08 ^2
3.Jahr :  b(0) * 1.08 * 1.08 * 1.08 = b(0) * 1.08 ^3
B ( t ) = b(0) * 1.08 ^t

Verdoppelung des Kapitals
2000 = 1000 * 1.08 ^t
1.08 ^t = 2000 / 1000
1.08 ^t = 2  | ln ( )
ln ( 1.08 ^t ) = ln ( 2 )
t * ln ( 1.08 ) = ln ( 2 )
t  = 9 Jahre

Answer 2

$$y=a^t $$

beide Seiten logarithmieren:

$$ \ln (y)=\ln (a^t )$$

Exponent im Argument des Logarithmus kann als Faktor herausgezogen und vornedrangestellt werden:

$$ \ln (y)=t \cdot \ln (a )$$