Jordan-Normalvorm einer 3x3 Matrix über den Komplexen Zahlen mit Basiswechselmatrixd

Question

ich weiß nicht, wie ich eine JordanNormalform einer 3x3 Matrix über C bestimmen soll. Die Matrix lautet

1 1 1

0 2 1

0-1 0

Als charakteristisches Polynom erhalte ich (t-1)^3 somit ist der Eigenwert 1 mit algebraischer Vielfachheit 3.

Daraus ergibt sich der Eigenvektor         1

-1

1

Aber wie gehts nun weiter? WolframAlpha sagt, dass es keine komplexe Lösung des charakteristischen Polynoms = 0  gibt Oo

Answer 1

Du musst zu dem dreifachen Eigenwert \( \lambda = 1 \) die Dimension von \( Kern(A - \lambda I) \) berechnen. Das gibt die Anzahl der Jordanblöcke. In Deinem Fall kommt 2 heraus. Da Du nur eine 3 x 3 Matrix hast, ist damit schon die Jordannormalform bestimmt, da bei 2 Jordanblöcken in einer 3 x 3 Matrix ein Jordanblock 2 x 2 sein muss und der andere eben 1 x 1.

D.h die Jordannormalform sieht so aus

$$  J = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1  \end{pmatrix} $$