Wie sieht die Matrix aus, wenn man den Algorithmus der Jordan Normalform falsch programmiert?

Question

Aufgabe:

Es geht um den Algorithmus, mit dem man die Jordan-Normalform berechnet.

Hier ist der Algorithmus:

Text erkannt:

Algorithmus 7. Eingabe: \( A=\left(\left(a_{i, j}\right)\right)_{i, j-1}^{n} \in \mathbb{K}^{n \times n} \), so dass das charakteristische Polynom von \( A \) die Form \( \chi=\left(X-\lambda_{1}\right)^{e_{1}} \ldots\left(X-\lambda_{k}\right)^{e_{k}} \) hat für \( e_{1}, \ldots, e_{k} \in \mathbb{N} \backslash\{0\} \) und parweise verschiedene \( \lambda_{1}, \ldots, \lambda_{k} \in \mathbb{K} \).
Ausgabe: Eine Jordan-Normalform \( J \in \mathbb{K}^{n \times n} \) sowie eine invertierbare Matrix \( B \in \mathbb{K}^{n \times n} \) mit \( B^{-1} A B=J \)
1 setze \( J \) auf die leere Matrix und \( B \) auf die leere Liste.
2 für \( i=1, \ldots, k \) :
3 bestimme \( E_{\lambda_{i}}^{(m)}:=\operatorname{ker}\left(A-\lambda_{i} I_{n}\right)^{m} \) für \( m=0, \ldots, e_{i}+1 \).
\( 4 \quad \) sei \( m \) maximal mit \( \operatorname{dim} E_{\lambda_{i}}^{(m)}>\operatorname{dim} E_{\lambda_{i}}^{(m-1)} \)
\( 5 \quad \) solange \( m>0 \), wiederhole:

Text erkannt:

6 bestimme eine Basis \( \left\{b_{1}, \ldots, b_{d}\right\} \) eines Raums \( U \subseteq \mathbb{K}^{n} \) mit der Eigenschaft
\( E_{\lambda_{i}}^{(m)}=U \oplus\left(\left(A-\lambda_{i} I_{n}\right) E_{\lambda_{i}}^{(m+1)}+E_{\lambda_{i}}^{(m-1)}\right) . \)
7 für \( j=1, \ldots, d \) :
8 ergänze \( J \) um ein Jordan-Kästchen für \( \lambda_{i} \) der Gröfe \( m \times m \)
9 ergänze \( B \) um \( \left(A-\lambda_{i} I_{n}\right)^{m-1} b_{j},\left(A-\lambda_{i} I_{n}\right)^{m-2} b_{j}, \ldots,\left(A-\lambda_{i} I_{n}\right) b_{j}, b_{j} \)
\( 10 \quad m=m-1 \)
11 gib \( J \) und \( B \) als Ergebnis aus.

Und jetzt die Aufgabe:

Jemand hat Algorithmus 7 falsch programmiert und in Zeile 9 die Reihenfolge der Vektoren verdreht. Im fehlerhaften Programm lautet diese Zeile also
9    ergänze B um b_j , (A − λ_iI_n)b_j , . . . , (A − λ_iI_n)^m−2b_j , (A − λ_iI_n)^m−1b_j
Wie sieht die Matrix B⁻¹AB aus, wenn B mit dieser fehlerhaften Implementierung berechnet wird?

Problem/Ansatz:

Ich habe schon ausprobiert, dass mit der falschen Zeile die transponierte MAtrix herauskommt, aber ich vermute, dass ich das auch beweisen muss. Aber wie kann ich das beweisen? Könnte mir bitte jemand helfen?

Comments

Wieso die Aufgabe verlangt keinen Beweis nur "Wie sieht die Matrix B⁻¹AB aus"

Gruß lul