Reihe konvergiert gdw Reihe der Teilfolge ab Summand Nr.j konvergiert

Question

ich habe eine Frage wie man diese Aufgabe richtig beweisen kann:

Sei (a_n)_n∈ℕ eine komplexe Folge. Zeigen Sie, dass die Reihe ∑_n=0^∞ a_n genau dann konvergiert, wenn auch die Reihe ∑_n=j∞ a_n für ein beliebiges j ∈ ℕ konvergiert.

 

Ich weiß nicht wie man das richtig formal beweisen soll. Ich würde jetzt einfach sagen, da wenn eine Reihe konvergent ist die Folge dazu eine Nullfolge sein muss gilt:

⇒: die Reihe von 0 aus hat ja nur ein paar Summanden mehr als die, die bei j startet. Da lim _n→∞ a_n = 0 konvergieren beide.

⇐: die Reihe von j aus hat ja nur ein paar Summanden weniger als die, die bei j startet. Da lim n→∞ an = 0 konvergieren wiederum beide.

 

Hört sich für mich nicht wirklich nach einem brauchbaren Beweis an.

Kann mir da jemand helfen?

Comments

Achtung: Reihen von Nullfolgen konvergieren nicht immer. Du musst in beide Richtungen mit der Existenz der 'unendlichen Summe' arbeiten.

Die Summe von n=0 bis j-1 ist eine Summe von endlich vielen Summanden. Die existiert immer, wenn es sich um reelle oder komplexe Summanden handelt.

Auch die Summe von 2 Summanden (1. und 2. Teil) existiert immer, wenn beide Summanden endliche Zahlen sind.

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Also meinst du:

Wenn ∑n=0 bis ∞ konvergiert so muss auch ∑n=j bis ∞ konvergieren da ∑n=0 bis j-1 mit ∑n=0 bis ∞ = ∑n=0 bis j-1 + ∑n=j bis ∞ eine Summe von endlich vielen Summanden ist?

und

Wenn ∑n=j bis ∞ konvergiert so muss auch ∑n=0 bis ∞ konvergieren da ∑n=0 bis ∞ nichts anderes als ∑n=0 bis ∞ = ∑n=0 bis j-1 + ∑n=j bis ∞ ist und somit eine Summe von endlich vielen Summanden?

Answer 1

Ja. Genau. Gib den existierenden Summen noch eine Variable als Wert. Ich versuch das mal einzufügen in deinen Text. 

Sei (an)nElementN eine konvergente Folge. j nV. Element N also endlich.

Wenn ∑n=0 bis ∞ an konvergiert so muss auch ∑n=j bis ∞ an konvergieren

Beweis: Wenn ∑n=0 bis ∞ an konvergiert, ist ∑n=0 bis ∞  an = s , wobei s Element C.

da s= ∑n=0 bis ∞ an = ∑n=0 bis j-1 an + ∑n=j bis ∞ an , gilt

  ∑n=0 bis j  an = -s +  ∑n=0 bis j-1 an . 

Das ist eine Summe von endlich vielen komplexen Summanden und deshalb eine komplexe Zahl? Also Existent. qed. ==>

 

und

Sei (an)nElementN eine ab Summand j konvergente Folge. j nV. Element N also endlich.

Wenn ∑n=j bis ∞ an konvergiert so muss auch ∑n=0 bis ∞ an konvergieren

Beweis: Wenn ∑n=0 bis ∞ an konvergiert, ist ∑n=j bis ∞  an = t , wobei t Element C.

da ∑n=0 bis ∞ an nichts anderes als ∑n=0 bis ∞ an = ∑n=0 bis j-1 an + ∑n=j bis ∞ an = ∑n=0 bis j-1 an    + t . Das ist eine Summe von endlich vielen komplexen Summanden und deshalb existent. qed. <==