Nullstellen komplexe Zahlen f(z) = z^3-2

Question

Aufgabe:

Nach dem Fundamentalsatz der Algebra hat

\( f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}, \quad z \mapsto f(z)=z^{3}-2 \)

drei Nullstellen in \( \mathbb{C} \).

Berechnen Sie diese in Polarkoordinaten.

Ansatz/Problem:

Bisher habe ich lediglich:

z^3 -2= 0

z^3 = 2

z^n = r^n (cos (nφ) + i sin (nφ))

|z|^3 =  [cos(3φ) + i sin (3φ)] .

Wie geht es denn nun weiter und ist das bisher richtig so?

Answer 1

Schreibe \( z = re^{i\varphi} \) dann muss gelöst werden
$$ z^3 = r^3 e^{3i\varphi} = 2 $$ wegen \( | e^{i\varphi} | = 1 \) folgt \( r = \sqrt[3]{2}\)
Weiter muss gelten \( \cos(3\varphi) = 1 \) und \( \sin(3\varphi) = 0 \)
Daraus ergibt sich \( \varphi = \frac{2}{3}\pi k = 0, \frac{2}{3}\pi , \frac{4}{3}\pi\)

Damit sind die Lösungen

$$  z = \begin{pmatrix} \sqrt[3]{2} \\ \sqrt[3]{2} \cdot \left[ cos\left(\frac{2}{3}\pi\right) + i sin\left(\frac{2}{3}\pi  \right)\right] \\ \sqrt[3]{2} \cdot \left[ cos\left(\frac{4}{3}\pi\right) + i sin\left(\frac{4}{3}\pi  \right)\right] \end{pmatrix}  = \begin{pmatrix} \sqrt[3]{2} \\ \sqrt[3]{2} \cdot \left[ -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3} } {2}  \right ] \\ \sqrt[3]{2} \cdot \left[ -\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3} } {2}  \right ] \end{pmatrix}$$

Comments

Weiter muss gelten cos(3φ)=1  \cos(3\varphi) = 1 und sin(3φ)=0 

Daraus ergibt sich φ=23 πk=0,23 π,43 π  \varphi = \frac{2}{3}\pi k = 0, \frac{2}{3}\pi , \frac{4}{3}\pi

Warum muss dies gelten? Den Rest kann ich nachvollziehen. \sin(3\varphi) = 0

DANKE

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2 hat das Argument phi = 0°=0 oder 2π oder 4π ....

Nun musst du diese Argumente durch 3 teilen.

Das ergibt der Reihe nach 0, (2π)/3, (4π)/3 .

(6π)/3 = 2π und alle folgenden sind nicht mehr interessant, da schon vorhanden.

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Dankeschön.

Aber das sind doch jetzt nicht drei Nullstellen, oder?

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Doch das sind 3 Nullstellen, wie das der Fundamentalsatz der Algebra verlangt.

WolphramAlpha zeichnet sie dir in der komplexen Zahlenebene sogar ein:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=z%5E3+-2+%3D+0

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\( \sin(3\varphi)=0 \) muss gelten, weil Du sonst imaginäre Anteile in Deiner Lösung hast, was ja nicht geht, weil 2 rein reell ist. Und wegen \( \cos^2(x)+\sin^2(x) = 1 \) gilt auch \( \cos(3\varphi) = 1 \).

Der Sinus wird bei \( 2k\pi \) mit \( k \in \mathbb{Z} \) Null. Also muss gelten \( 3\varphi = 2k\pi  \) oder \( \varphi = \frac{2}{3}k\pi \) Das gibt drei verschiedene Lösungen für \( k = 0,1,2 \) für \( k=3 \) folgt \( \varphi = 2\pi \) was eine identische Lösung wie für  \( \varphi = 0\) ergibt.