Berechnen Sie z^{35} . komplexe Zahlen

Question

Es sei die komplexe Zahl \( z:=\frac{i-\sqrt{3}}{\sqrt[4]{8}} \) gegeben. Es sei \( n \in \mathbb{N} \) eine natürliche Zahl.

Berechnen Sie \( z^{35} \). Stellen Sie das Ergebnis sowohl in der Form \( a+b \) i mit \( a, b \in \mathbb{R} \) als auch in Polarkoordinaten dar.

\( z:=\sqrt[4]{2}\left(\cos \left(\frac{5 \pi}{6}\right)+i \sin \left(\frac{5 \pi}{6}\right)\right) \)
\( z^{n}=r^{n}(\cos (n \cdot phi)+i \sin (n \cdot phi)) \)

\( \Rightarrow\left(2^{\frac{1}{4}}\right)^{35}\left(\cos \left(\frac{5 \pi \cdot 35}{6}\right)+i \sin \left(\frac{5 \pi \cdot 35}{6}\right)\right) \)


Frage/Problem:
Ich kann nicht weiter machen, weil ich die Zahlen nicht  kürzen kann. D<rum frage ich mich auch, ob ich Überhaupt den richtigen Ansatz habe?

konkret: Was ist 2^(35/4)    und Phi : \( \frac{175π}{6} \) → 29,16π?  

Answer 1

2^(35/4) = 2^(8 + 3/4) = 256·2^(3/4)

(5/6·35)·pi = 175/6·pi = (29 + 1/6)·pi = (28 + 7/6)·pi Ξ 7/6·pi

256·2^(3/4)·EXP(i·7/6·pi) = - 128·√3·2^(3/4) - 128·2^(3/4)·i

Vergleiche dann mit einem Online-Rechner

https://www.wolframalpha.com/input?i2d=true&i=Power%5B%5C%2840%29Divide%5B%5C%2840%29i%2BSqrt%5B3%5D%5C%2841%29%2CSurd%5B8%2C4%5D%5D%5C%2841%29%2C35%5D%3D

Comments

Vielen Dank!!

noch einige Unklarheiten meinerseits:

(29 + 1/6)·pi = (28 + 7/6)·pi Ξ 7/6·pi

--> warum hat man nicht dir 1/6 pi genommen, sondern extra zu 7/6pi umgeformt?

--> kann ich also in Zukunft das "Anhängsel" ,wie 29 bzw. 28 immer ignorieren?

--> Bis zur Eulerform konnte ich nachvollziehen, aber die Umschreibung in kartesischer Form nicht mehr.

- 128·√3·2^(3/4) - 128·2^(3/4)·i ?

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- 128·√3·2^(3/4) - 128·2^(3/4)·i ?

Das hat sich mittlerweile bei mir beantwortet.

Die anderen beiden Punkte wären aber trotzdem interessant zu wissen:)

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warum hat man nicht dir 1/6 pi genommen, sondern extra zu 7/6pi umgeformt?

sin und cos haben eine Periodenlänge von 2pi und damit darf man zu jedem Winkel 2pi hinzuzählen oder abziehen. ich ziehe 14 mal 2pi also 28 pi ab.

--> kann ich also in Zukunft das "Anhängsel" ,wie 29 bzw. 28 immer ignorieren?

Du kannst vielfache von 2pi als "Anhängsel" ignorieren.