komplexe Zahlen Real- Imaginärteil von (1/2 - i√3/2)^6

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie den Real- und den Imaginärteil der komplexen Zahlen

\( \left(\frac{1}{2}-\mathrm{i} \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{6} \quad \text { und } \quad(1-\mathrm{i} \sqrt{3})^{100} \)

Def.: Realteil: (Re) Abbildung von komplexen Zahlen in reelle Zahlen

Re: ℂ -> ℝ mit Re(x+ iy)= x

Bsp: Re (7+6i)= 7

Imaginärteil: (Im)

Im: ℂ -> ℝ mit Im(x+ iy)= y

Bsp: Im (7+6i)= 6

Wie erhalte ich nun allerdings anhand dieser komplexen Zahlen die Werte?

Answer 1

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in trigonometrischer Form sieht deine erste Aufgabe so aus ->

 z= [ cis(240°) ]^6  = cis( 6 *240°) = cis(1440°) = cis( 4*360°)

also ist  ->

Re(z)= 1

Im(z)= 0

die zweite Aufgabe kannst du ganz leicht ähnlich lösen ...

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Comments

Kannst du mir noch erläutern, wie du darauf gekommen bist?

Also ich habe bei der ersten für:

Realteil= 1*cos(10/π)

Imaginärteil= 1*sin(10/π)44

und den zweiten:

Realteil= -2^99

Imaginärteil= √3 *2^99

stimmt das so?

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Hi, ich habe
$$ \left( \frac 12 + \text{i}\frac{\sqrt{3}}{2} \right)^6 = \left( \frac 12 + \text{i}\frac{\sqrt{3}}{2} \right)^{3\cdot 2} = (-1)^2 = 1. $$

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Gast: Dein "

Realteil= 1*cos(10/π)

Imaginärteil= 1*sin(10/π)44 "

Stimmt nicht.

Warum hast du π unter dem Bruchstrich?

2. Habe ich auch. Allerdings über Polarkoordinaten gerechnet (nicht cis).

EDIT: jd136 hat das richtige Resultat. Hat's vorher bei mir noch nicht angezeigt.

1 hat Realteil 1 und Imaginärteil 0.

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In meiner Rechnung oben muss es Minus statt Plus heißen. Richtig ist also:
$$ \left( \frac 12 - \text{i}\frac{\sqrt{3}}{2} \right)^6 = \left( \frac 12 - \text{i}\frac{\sqrt{3}}{2} \right)^{3\cdot 2} = (-1)^2 = 1. $$

Answer 2

z= 1 - √3 i

in Polarkoordinaten

Betrag |z| = √(1+3) = 2

Argument. arctan(-√3/1) = -π/3  .

z^100 = |z|^100 * e^{-100* i *π/3}

= 2^100 * e^ (i (-96π/3 -4π/3 ))

= 2^100 * e^ (i ((-32π - 4π)/3)) 

== 2^100 * e^ (i (-16*2π - 4π/3))

= 2^100 * e^ (i (-4π/3))       | Winkel pos. darstellen

= 2^100 * e^ (i (2π/3))      | umrechnen in kartesische Koordinaten, wenn du willst:

= 2^100 * ( -1/2 + √3/2 i)

= -2^99 + 2^99 * √3 i 

Kontrolle: 

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%281+-+√3+i+%29%5E100

Answer 3

Zur ersten Zahl:
$$ \left( \frac 12 - \text{i}\frac{\sqrt{3}}{2} \right)^6 = \left( \frac 12 - \text{i}\frac{\sqrt{3}}{2} \right)^{3\cdot 2} = (-1)^2 = 1. $$Nun finde ich es schick, das für die zweite Zahl zu nutzen.
Das geht auch, denn aus dem Bisherigen folgt:

$$ \left( 1 - \text{i}\sqrt{3} \right)^3 = -2^3 \quad|\quad(\,)^{33} \\ \left( 1 - \text{i}\sqrt{3} \right)^{99} = -2^{99} \quad|\quad\cdot\left( 1 - \text{i}\sqrt{3} \right) \\ \left( 1 - \text{i}\sqrt{3} \right)^{100} = -2^{99} \cdot \left( 1 - \text{i}\sqrt{3} \right). $$