Beweise a^x*b^x=(ab)^x und ... für reelle Zahlen a und b > 0. Multiplikation

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass für reelle Zahlen \( a, b>0 \) und \( x, y \in \mathbb{Q} \) gilt:

\( \left(a^{x}\right)^{y}=a^{x \cdot y} ; \quad a^{x} \cdot b^{x}=(a \cdot b)^{x} \)

Erinnerung: Zu \( \frac{p}{q} \in \mathbb{Q} \) mit \( p, q \in \mathbb{Z}, q>0 \), ist \( a^{\frac{P}{q}}=\sqrt[q]{a^{p}} \) die eindeutige, positive, reelle, Lösung von \( x^{q}=a^{p} \).

Ansatz/Problem:

Das erste ist ja die Exponentenregel. Reicht da, wenn ich schreibe:

x^{n+m} = x*x*x***x

                 (n*m)-mal

             = (x*x*x***x) * (x*x*x***x) ***(x*x*x***x)

                  (n)-mal         (n)-mal              (n)-mal

                        das ist somit: (m)-mal

             = (x^n) * (x^n) *** (x^n) = (x^n)^m

                       (m)-mal

Answer 1

Das funktioniert nur, falls \(n\) und \(m\) natürliche Zahlen sind (außerdem muss am Anfang \(x^{m\cdot n}\) statt \(x^{n+m}\) stehen). Für rationale Exponenten musst du anders vorgehen.

Comments

Wir schreiben \(x=\frac{p}{q}\) und \(y=\frac{r}{s}\) mit \(p,r\in\mathbb{Z}, q,s\in\mathbb{N}\).

Laut Definition ist \((a^x)^y=(a^\frac{p}{q})^\frac{r}{s}\) die eindeutige positive Lösung \(z\) von \(z^s=(a^\frac{p}{q})^r\), und \(a^{x\cdot y}=a^{\frac{p\cdot r}{q\cdot s}}\) ist die eindeutige positive Lösung \(z\) von \(z^{q\cdot s}=a^{p\cdot r}\).

Du musst zeigen, dass diese beiden Gleichungen dieselbe positive Lösung haben; dann ist \((a^x)^y=a^{x\cdot y}\).

---

Habe das nicht hinbekommen, zu zeigen, dass sie die gleiche Lösung haben.

Wie muss ich da denn genau vorgehen?

---

Wir setzen voraus, dass \(z\) die (positive) Lösung der Gleichung \(z^s=(a^\frac{p}{q})^r\) ist.

Dann ist \(z^{q\cdot s}=(z^s)^q=((a^\frac{p}{q})^r)^q\). Und da musst du jetzt zeigen, dass das gleich \(a^{p\cdot r}\) ist.

(Dabei brauchst du u.a., dass \(a^{mn}=(a^m)^n\) für beliebige ganze Zahlen \(m,n\in\mathbb{Z}\) gilt, was du (falls noch nicht geschehen) beweisen musst; oben hattest du es nur für \(n,m\in\mathbb{N}\) bewiesen).