Zeigen Sie, dass a,b,c (Reelle Zahlen) genau dann positiv sind, wenn folgendes gilt: a+b+c >0, ab+bc+ca > 0 und abc > 0.

Question

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Ich muss folgende Aufgabe lösen und komme leider nicht weiter und würde mich freuen, wenn mir jemand weiterhelfen könnte :)

Gegeben seien drei reelle Zahlen a,b,c. Zeigen Sie, dass diese Zahlen genau dann alle positiv sind, wenn gilt:

a+b+c > 0, ab + bc + ca > 0 und abc > 0.

Ich weiß einfach nicht, wie man bei so etwas vorgeht bzw. wie man so etwas zeigt/beweist.

Answer 1

Wenn $$abc \gt 0$$ ist, dann sind entweder alle drei Zahlen größer \(0\) oder nur eine und die beiden anderen sind kleiner als \(0\). Keine der Zahlen kann \(=0\) sein. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit kann man annehmen, dass $$|a| \ge |b| \ge |c|$$ Ich betrachte jetzt nur den Fall, dass zwei Zahlen kleiner als \(0\) sind. Aus $$a + b + c \gt 0$$ kann man folgern, dass dies nur die Zahlen \(b\) und \(c\) sein können. Wäre \(a \lt 0\) so wäre obige Gleichung nicht erfüllbar. Die dritte Gleichung noch etwas umstellen: $$ab + bc + ca \gt 0 \\ a(b+c) + bc \gt 0$$ Sind \(b\) und \(c\) kleiner 0 und \(a\gt0\), so ist der Term \(a(b+c) \lt 0\). Zusammen mit $$a \gt -(b+c) \gt 0$$ folgt nun, dass $$-(b+c)^2 \gt a(b+c)$$ also sollte sein, dass $$-(b+c)^2 + bc \gt a(b+c) + bc \gt 0$$ nun ist aber $$-(b+c)^2 + bc  \\ \quad = -b^2 - 2bc - c^2 + bc = -b^2 - bc - c^2 \not\gt 0$$ da \(bc\) lt. Annahme auch größer \(0\) sein muss. Und dies ist ein Widerspruch zu der Annahme, dass zwei der drei Zahlen \(\lt0\) sind.

Es bleibt also nur der Fall übrig, dass alle drei Zahlen größer 0 sein müssen.

Gruß Werner

Comments

Man kann auch die Anzahl negativer Nullstellen des Polynoms (x-a)·(x-b)·(x-c) mit dem Satz von Descartes bestimmen.