Kettenbruchentwicklung bricht genau dann ab, wenn die Zahl rational ist. Beweis?

Question

aufgabe zur Kettenbruchentwicklung

 



brauche hilfe bei einer schwierigen aufgabe aus der analysis.

 

"ich soll zeigen, dass eine positive reelle zahl genau dann rational ist, wenn ihre kettenbruchentwicklung abbricht, das heißt nur endlich viele von 0 verschiedene folgenglieder besitzt."

 

 

 

ich  verstehe leider überhaupt nicht was ich machen soll und hoffe deshalb auf eure hilfe.

Answer 1

Beweisandeutung

Es ist klar, dass eine Zahl rational ist, wenn deren Kettenbruchentwicklung endlich ist.

Sei andererseits x = p/q  mit  positiven ganzen Zahlen p und q. Außerdem sei der Bruch p/q bereits gekürzt.
Es gibt eine eindeutige Zerlegung  p = aq + r mit  natürlichen Zahlen a und r und  0≤r<q. Falls  r=0, ist  p/q=a und die Kettenbruchentwicklung beendet. Sonst ist

x = p/q = (aq + r)/q = a + r/q = a + 1/(q/r).

Wende das gleiche Verfahren auf den Bruch  q/r  an. Da  r<q   ist, muss nach spätestens endlich vielen Schritten  r=0  sein, womit die Kettenbruchentwicklung beendet ist.