Wie formt man einen unendlichen konvergenten Kettenbruch in eine reelle Zahl um?

Question

Wandeln Sie den unendlichen, konvergenten Kettenbruch in eine reelle Zahl um.

$$4 + \frac { 1 } { 4 + \frac { 1 } { 4 + \frac { 1 } { 4 + \frac { 1 } { ... } } } }$$

Wie geht man hier vor?

Answer 1

Idee: Gleichung aufstellen

4 +  1/x   = x          |*x

4x + 1 = x^2

0= x^2 - 4x -1

x_1,2 = 1/2  * (4 ±√(16+4) = 2 ± √5

Nur die positive Lösung kommt in Frage.

x = 2 + √5 = 4.236068…

Bitte nachrechnen oder sonstwie überprüfen.