Periodische Kommazahlen zu Brüchen umwandeln, warum geht das?

Question

Ich habe zum Beispiel 0,3333... daraus kann ich machen: 3 / (10 - 1) = 3 * (1/9)

oder 0,1111... = 1/9

oder 0,090909... = 9 / (100-1) = 9 / 99

Wie kommt man darauf? Gibt es eine Formel hierfür? Herleitung?

Answer 1

 

man geht hierbei wie folgt vor:

Nehmen wir als Beispiel 123,456767676767...

Die Periode beginnt also bei der 67

Einmal bringst Du die Periode unmittelbar hinter das Komma, also hier durch Multiplikation mit 100

12345,67676767...

Dann bringst Du die Periode unmittelbar vor das Komma, also hier durch Multiplikation mit 10000

1234567,676767...

Du subtrahierst den kleinen Faktor vom großen, also 10000 - 100 = 9900

Und Du subtrahierst die beiden erzeugten Zahlen:

1234567,676767... -

12345,676767... =

1222222

Letzter Schritt: Division der zweiten blauen Zahl durch die erste blaue Zahl

1222222/9900 = 123,45676767...

 

Der rote Bruch ist Deine Lösung (den kannst Du in diesem Falle natürlich noch weiter kürzen).

 

Warum das funktioniert, kann ich Dir leider nicht sagen; ich hoffe aber, ich konnte trotzdem etwas helfen.

 

Besten Gruß

Answer 2

oder 0,1111... = 1/9

oder 0,090909... = 9 / (100-1) = 9 / 99

Wie kommt man darauf? Gibt es eine Formel hierfür? Herleitung?

Brucybabe hat dir die eleganteste Herleitung bereits beschrieben.

Später lernst du zum Thema Reihen auch noch die geometrische Reihe kennen.

Ein Ausschnitt von http://fi.wikipedia.org/wiki/Geometrinen_sarja mit der zugehörigen Formel: (du kannst in wikipedia die Sprache auch ändern. Leider ist auf Deutsch die Formel nicht speziell prominent vorhanden)

Mit dieser Summenformel, kannst du das dann folgendermassen aufdröseln.

Beispiel:

0.090909090.... = 0.09 + 0.0009 + 0.000009 + ....

= 9*(1/100) + 9*1/100^2 +9* 1/100^3  +...

= 9*(1/100 + (1/100)^2 + (1/100)^3 + ...)

=9/100 *(1 + 1/100 + (1/100)^2 + ...) 

.             | Klammer geometrische Reihe mit a=9/100 und q=1/100
                  | q liegt zwischen -1 und + 1. Daher Formel einsetzen.

=(9/100) / /(1-1/100))            |Term mit Brüchen vereinfachen.

=(9/100) / (99/100))

=(9*100) / (100*99))

=9/99

=1/11

Betrachte noch kurz die Abbildung auf http://fi.wikipedia.org/wiki/Geometrinen_sarja

Sie zeigt dir, dass 1+1/2 +1/4 + 1/8 + ..... im Grenzwert 2 ergibt.

Hier ist a=1 und q=1/2.

Summe ist dann nach Formel s=1/(1-1/2). Nun vereinfachen s = 1/(1/2) = 2.